---
route: /task/matura-pr-bna-operon-listopad-2011-31
title: Zadanie matura-pr-bna-operon-listopad-2011-31
source: Matura próbna Operon listopad 2011
category: Planimetria
points: 2
type: open
---

# Zadanie matura-pr-bna-operon-listopad-2011-31

**Źródło:** Matura próbna Operon listopad 2011
**Kategoria:** Planimetria
**Punkty:** 2
**Typ:** otwarte

## Treść zadania

Przekątna równoległoboku ma długość \(10\) cm i tworzy z krótszym bokiem kąt prosty, a z dłuższym bokiem kąt \(30^\circ\). Oblicz długość krótszego boku tego równoległoboku.

**Prawidłowa odpowiedź:** \(\frac{10\sqrt{3}}{3}\)

## Wzór

Formuła 2015

## Rozwiązanie

**Krok 1: Sporządzenie rysunku pomocniczego.**

[obrazek: https://urqfqczecfbhzvrlsvmp.supabase.co/storage/v1/object/public/task-images/solutions-generated/matura-pr-bna-operon-listopad-2011-31.png]

Oznaczmy:
- \(a\) – długość krótszego boku
- \(b\) – długość dłuższego boku
- \(d = 10\) cm – długość przekątnej

**Krok 2: Analiza sytuacji**

Przekątna równoległoboku dzieli go na dwa przystające trójkąty. Rozpatrzmy jeden z nich, który ma boki: krótszy bok \(a\), dłuższy bok \(b\) i przekątną \(d = 10\) cm.

**Krok 3: Wykorzystanie informacji o kątach**

Z treści zadania:
- przekątna tworzy z krótszym bokiem kąt prosty (\(90^\circ\))
- przekątna tworzy z dłuższym bokiem kąt \(30^\circ\)

To oznacza, że w trójkącie mamy:
- kąt przy krótszym boku: \(90^\circ\)
- kąt przy dłuższym boku: \(30^\circ\)
- kąt przy wierzchołku przeciwległym: \(180^\circ - 90^\circ - 30^\circ = 60^\circ\)

**Krok 4: Rozpoznanie trójkąta**

Otrzymaliśmy trójkąt prostokątny z kątami \(30^\circ\), \(60^\circ\), \(90^\circ\).

**Krok 5: Ustalenie położenia boków**

W tym trójkącie:
- przeciwprostokątna to dłuższy bok \(b\)
- przekątna \(d = 10\) cm leży naprzeciw kąta \(60^\circ\)
- krótszy bok \(a\) leży naprzeciw kąta \(30^\circ\)

**Krok 6: Zastosowanie twierdzenia sinusów**

$$\frac{a}{\sin 30^\circ} = \frac{d}{\sin 60^\circ}$$

Podstawiamy wartości:

$$\frac{a}{\frac{1}{2}} = \frac{10}{\frac{\sqrt{3}}{2}}$$

$$\frac{a}{\frac{1}{2}} = \frac{10 \cdot 2}{\sqrt{3}}$$

$$a \cdot 2 = \frac{20}{\sqrt{3}}$$

$$a = \frac{10}{\sqrt{3}}$$

**Krok 7: Wymiernienie mianownika**

$$a = \frac{10}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = \frac{10\sqrt{3}}{3}$$

**Odpowiedź:** Długość krótszego boku równoległoboku wynosi \(\frac{10\sqrt{3}}{3}\) cm.

---
Więcej zadań: https://www.sprawnamatura.pl/topics/planimetria
Cały arkusz: https://www.sprawnamatura.pl/exams/matura-probna-operon-listopad-2011