---
route: /task/matura-pr-bna-operon-listopad-2011-28
title: Zadanie matura-pr-bna-operon-listopad-2011-28
source: Matura próbna Operon listopad 2011
category: Stereometria
points: 2
type: open
---

# Zadanie matura-pr-bna-operon-listopad-2011-28

**Źródło:** Matura próbna Operon listopad 2011
**Kategoria:** Stereometria
**Punkty:** 2
**Typ:** otwarte

## Treść zadania

Wykaż, że przekątna prostopadłościanu o krawędziach długości \(a, b, c\) ma długość \(\sqrt{a^2+b^2+c^2}\).

## Wzór

Formuła 2015

## Rozwiązanie

**Krok 1: Sporządzenie rysunku pomocniczego.**

[obrazek: https://urqfqczecfbhzvrlsvmp.supabase.co/storage/v1/object/public/task-images/solutions-generated/matura-pr-bna-operon-listopad-2011-28.png]

Rozważmy prostopadłościan o krawędziach długości \(a\), \(b\), \(c\).

**Krok 2: Ustalenie układu współrzędnych**

Umieśćmy prostopadłościan w układzie współrzędnych tak, aby jeden z wierzchołków znajdował się w punkcie \(O = (0, 0, 0)\), a krawędzie wychodziły wzdłuż osi współrzędnych.

Wtedy przeciwległy wierzchołek (na końcu przekątnej) ma współrzędne \(P = (a, b, c)\).

**Krok 3: Obliczenie przekątnej podstawy**

Najpierw znajdźmy długość przekątnej prostokąta będącego podstawą prostopadłościanu (na przykład podstawy w płaszczyźnie \(xy\)).

Podstawa ma wymiary \(a \times b\), więc z twierdzenia Pitagorasa:

$$d_1 = \sqrt{a^2 + b^2}$$

**Krok 4: Obliczenie przekątnej prostopadłościanu**

Teraz rozważmy trójkąt prostokątny utworzony przez:
- przekątną podstawy \(d_1 = \sqrt{a^2 + b^2}\) (przyprostokątna)
- wysokość prostopadłościanu \(c\) (druga przyprostokątna)
- przekątną prostopadłościanu \(d\) (przeciwprostokątna)

Ponownie stosujemy twierdzenie Pitagorasa:

$$d^2 = d_1^2 + c^2$$

$$d^2 = (\sqrt{a^2 + b^2})^2 + c^2$$

$$d^2 = a^2 + b^2 + c^2$$

**Krok 5: Wynik końcowy**

Pierwiastkując obie strony otrzymujemy:

$$d = \sqrt{a^2 + b^2 + c^2}$$

**Alternatywnie** (używając wzoru na odległość w przestrzeni):

Odległość między punktami \(O = (0, 0, 0)\) i \(P = (a, b, c)\) wynosi:

$$d = \sqrt{(a-0)^2 + (b-0)^2 + (c-0)^2} = \sqrt{a^2 + b^2 + c^2}$$

co potwierdza nasz wynik.

---
Więcej zadań: https://www.sprawnamatura.pl/topics/stereometria
Cały arkusz: https://www.sprawnamatura.pl/exams/matura-probna-operon-listopad-2011