---
route: /task/matura-pr-bna-operon-listopad-2011-27
title: Zadanie matura-pr-bna-operon-listopad-2011-27
source: Matura próbna Operon listopad 2011
category: Trygonometria
points: 2
type: open
---

# Zadanie matura-pr-bna-operon-listopad-2011-27

**Źródło:** Matura próbna Operon listopad 2011
**Kategoria:** Trygonometria
**Punkty:** 2
**Typ:** otwarte

## Treść zadania

W trójkącie prostokątnym jedna z przyprostokątnych ma długość \(a\). Kąt ostry przy tym boku ma miarę \(\alpha \). Wykaż, że \(\sin \alpha +\cos \alpha >1\).

## Wzór

Formuła 2015

## Rozwiązanie

**Krok 1: Sporządzenie rysunku pomocniczego.**

[obrazek: https://urqfqczecfbhzvrlsvmp.supabase.co/storage/v1/object/public/task-images/solutions-generated/matura-pr-bna-operon-listopad-2011-27.png]

Oznaczmy trójkąt prostokątny jako \(ABC\), gdzie kąt prosty jest przy wierzchołku \(C\).

**Krok 2: Ustalenie oznaczeń**

Niech:
- \(AC = a\) (dana przyprostokątna)
- kąt \(\alpha\) jest przy wierzchołku \(A\) (kąt ostry przy boku \(a\))
- \(BC = b\) (druga przyprostokątna)
- \(AB = c\) (przeciwprostokątna)

**Krok 3: Wyznaczenie \(\sin \alpha\) i \(\cos \alpha\)**

Z definicji funkcji trygonometrycznych w trójkącie prostokątnym:

$$\sin \alpha = \frac{BC}{AB} = \frac{b}{c}$$

$$\cos \alpha = \frac{AC}{AB} = \frac{a}{c}$$

**Krok 4: Obliczenie sumy**

$$\sin \alpha + \cos \alpha = \frac{b}{c} + \frac{a}{c} = \frac{a+b}{c}$$

**Krok 5: Wykazanie nierówności**

Musimy udowodnić, że:
$$\frac{a+b}{c} > 1$$

co jest równoważne:
$$a + b > c$$

**Krok 6: Uzasadnienie za pomocą nierówności trójkąta**

W dowolnym trójkącie suma długości dwóch boków jest większa od długości trzeciego boku (nierówność trójkąta).

W naszym trójkącie:
$$a + b > c$$

Ta nierówność jest ostra (ze znakiem \(>\)), ponieważ punkty \(A\), \(B\), \(C\) nie są współliniowe (tworzą trójkąt).

**Krok 7: Alternatywne uzasadnienie algebraiczne**

Z twierdzenia Pitagorasa: \(a^2 + b^2 = c^2\)

Rozważmy:
$$(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 = c^2 + 2ab$$

Ponieważ \(a > 0\) i \(b > 0\) (długości boków), to \(2ab > 0\), więc:
$$(a+b)^2 = c^2 + 2ab > c^2$$

Zatem:
$$a + b > c$$

**Wniosek:**

$$\sin \alpha + \cos \alpha = \frac{a+b}{c} > 1$$

co było do wykazania. ∎

---
Więcej zadań: https://www.sprawnamatura.pl/topics/trygonometria
Cały arkusz: https://www.sprawnamatura.pl/exams/matura-probna-operon-listopad-2011