---
route: /task/matura-pr-bna-operon-listopad-2011-24
title: Zadanie matura-pr-bna-operon-listopad-2011-24
source: Matura próbna Operon listopad 2011
category: Stereometria
points: 1
type: closed
---

# Zadanie matura-pr-bna-operon-listopad-2011-24

**Źródło:** Matura próbna Operon listopad 2011
**Kategoria:** Stereometria
**Punkty:** 1
**Typ:** zamknięte

## Treść zadania

Tworząca stożka jest o \(2\) dłuższa od promienia podstawy. Pole powierzchni bocznej tego stożka jest równe \(15\pi \). Tworząca stożka ma zatem długość

## Odpowiedzi

- **A.** \( 1 \)
- **B.** \( 5 \)
- **C.** \( 3 \)
- **D.** \( 15 \)

**Prawidłowa odpowiedź:** B

## Wzór

Formuła 2015

## Rozwiązanie

## Krok 1: Sporządzenie rysunku pomocniczego.

[obrazek: https://urqfqczecfbhzvrlsvmp.supabase.co/storage/v1/object/public/task-images/solutions-generated/matura-pr-bna-operon-listopad-2011-24.png]

Oznaczmy:
- \(r\) – promień podstawy stożka
- \(l\) – tworząca stożka

## Krok 2: Zapisanie danych z treści zadania

Z warunku "tworząca stożka jest o 2 dłuższa od promienia podstawy":
$$l = r + 2$$

Pole powierzchni bocznej stożka wynosi \(15\pi\).

## Krok 3: Wzór na pole powierzchni bocznej stożka

Pole powierzchni bocznej stożka wyraża się wzorem:
$$P_{boczne} = \pi r l$$

## Krok 4: Podstawienie danych do wzoru

Podstawiamy \(P_{boczne} = 15\pi\) oraz \(l = r + 2\):
$$\pi r(r + 2) = 15\pi$$

## Krok 5: Rozwiązanie równania

Dzielimy obie strony przez \(\pi\):
$$r(r + 2) = 15$$

Rozwijamy nawias:
$$r^2 + 2r = 15$$

Przenosimy wszystko na lewą stronę:
$$r^2 + 2r - 15 = 0$$

## Krok 6: Rozwiązanie równania kwadratowego

Szukamy dwóch liczb, których iloczyn wynosi \(-15\), a suma wynosi \(2\). Są to liczby \(5\) i \(-3\).

Rozkład na czynniki:
$$(r + 5)(r - 3) = 0$$

Stąd:
$$r = -5 \quad \text{lub} \quad r = 3$$

Ponieważ promień musi być dodatni, \(r = 3\).

## Krok 7: Obliczenie długości tworzącej

$$l = r + 2 = 3 + 2 = 5$$

**Odpowiedź: B**

---
Więcej zadań: https://www.sprawnamatura.pl/topics/stereometria
Cały arkusz: https://www.sprawnamatura.pl/exams/matura-probna-operon-listopad-2011