---
route: /task/matura-pr-bna-operon-listopad-2011-22
title: Zadanie matura-pr-bna-operon-listopad-2011-22
source: Matura próbna Operon listopad 2011
category: Planimetria
points: 1
type: closed
---

# Zadanie matura-pr-bna-operon-listopad-2011-22

**Źródło:** Matura próbna Operon listopad 2011
**Kategoria:** Planimetria
**Punkty:** 1
**Typ:** zamknięte

## Treść zadania

Trapez jest prostokątny. Trójkąty podobne \(ABD\) i \(CBD\) są równoramienne. Obwód trapezu jest równy

## Odpowiedzi

- **A.** \( 4+2\sqrt{2} \)
- **B.** \( 2\sqrt{2} \)
- **C.** \( 4+\sqrt{2} \)
- **D.** \( 4 \)

**Prawidłowa odpowiedź:** C

## Wzór

Formuła 2015

## Rozwiązanie

Krok 1. Wyznaczenie boków trójkąta \(ABD\).

Trapez jest prostokątny, więc kąt przy wierzchołku \(A\) jest prosty. Trójkąt \(ABD\) jest przy tym równoramienny, zatem jego przyprostokątne są równe:

$$|AB|=|AD|$$

Przekątna \(BD\) jest przeciwprostokątną i ma długość \(\sqrt{2}\). Z twierdzenia Pitagorasa:

$$|AB|^2+|AD|^2=\left(\sqrt{2}\right)^2$$

$$2|AB|^2=2\quad\Rightarrow\quad |AB|=|AD|=1$$

Kąty ostre tego trójkąta mają zatem po \(45^\circ\).

Krok 2. Wyznaczenie kątów trójkąta \(CBD\).

Podstawy trapezu są równoległe, więc kąty \(ABD\) i \(BDC\) są naprzemianległe:

$$|\sphericalangle BDC|=|\sphericalangle ABD|=45^\circ$$

Trójkąt \(CBD\) jest podobny do \(ABD\), czyli też jest prostokątny i równoramienny. Kąt prosty leży w nim przy wierzchołku \(B\), a ramionami są odcinki \(BD\) i \(BC\):

$$|BC|=|BD|=\sqrt{2}$$

Krok 3. Wyznaczenie dłuższej podstawy.

Odcinek \(DC\) jest przeciwprostokątną trójkąta \(CBD\):

$$|DC|^2=|BD|^2+|BC|^2=2+2=4\quad\Rightarrow\quad |DC|=2$$

Krok 4. Obliczenie obwodu trapezu.

$$Ob=|AB|+|BC|+|CD|+|DA|$$

$$Ob=1+\sqrt{2}+2+1=4+\sqrt{2}$$

**Odpowiedź: C**

---
Więcej zadań: https://www.sprawnamatura.pl/topics/planimetria
Cały arkusz: https://www.sprawnamatura.pl/exams/matura-probna-operon-listopad-2011