---
route: /task/matura-pr-bna-operon-listopad-2011-20
title: Zadanie matura-pr-bna-operon-listopad-2011-20
source: Matura próbna Operon listopad 2011
category: Geometria analityczna
points: 1
type: closed
---

# Zadanie matura-pr-bna-operon-listopad-2011-20

**Źródło:** Matura próbna Operon listopad 2011
**Kategoria:** Geometria analityczna
**Punkty:** 1
**Typ:** zamknięte

## Treść zadania

Punkty \(A=(-2,-1)\) i \(B=(2,2)\) są wierzchołkami trójkąta równobocznego \(ABC\). Wysokość tego trójkąta jest równa

## Odpowiedzi

- **A.** \( 2{,}5 \)
- **B.** \( 2\sqrt{3} \)
- **C.** \( 5\sqrt{3} \)
- **D.** \( 2{,}5\sqrt{3} \)

**Prawidłowa odpowiedź:** D

## Wzór

Formuła 2015

## Rozwiązanie

[obrazek: https://urqfqczecfbhzvrlsvmp.supabase.co/storage/v1/object/public/task-images/solutions-generated/matura-pr-bna-operon-listopad-2011-20.png]

Oblicza się długość boku trójkąta równobocznego.

Bok \(AB\) to:
$$|AB| = \sqrt{(2-(-2))^2 + (2-(-1))^2} = \sqrt{4^2 + 3^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5$$

**Związek między bokiem a wysokością w trójkącie równobocznym**

W trójkącie równobocznym o boku \(a\) wysokość wynosi:
$$h = \frac{a\sqrt{3}}{2}$$

**Uzasadnienie wzoru:**

Wysokość w trójkącie równobocznym dzieli go na dwa trójkąty prostokątne o przyprostokątnych \(h\) i \(\frac{a}{2}\) oraz przeciwprostokątnej \(a\).

Z twierdzenia Pitagorasa:
$$h^2 + \left(\frac{a}{2}\right)^2 = a^2$$

$$h^2 = a^2 - \frac{a^2}{4} = \frac{3a^2}{4}$$

$$h = \frac{a\sqrt{3}}{2}$$

**Obliczenie wysokości:**

Podstawiając \(a = 5\):
$$h = \frac{5\sqrt{3}}{2} = 2{,}5\sqrt{3}$$

**Odpowiedź: D**

---
Więcej zadań: https://www.sprawnamatura.pl/topics/geometria-analityczna
Cały arkusz: https://www.sprawnamatura.pl/exams/matura-probna-operon-listopad-2011