---
route: /task/matura-pr-bna-operon-listopad-2011-19
title: Zadanie matura-pr-bna-operon-listopad-2011-19
source: Matura próbna Operon listopad 2011
category: Geometria analityczna
points: 1
type: closed
---

# Zadanie matura-pr-bna-operon-listopad-2011-19

**Źródło:** Matura próbna Operon listopad 2011
**Kategoria:** Geometria analityczna
**Punkty:** 1
**Typ:** zamknięte

## Treść zadania

Liczba punktów wspólnych okręgu o równaniu \((x-1)^2+y^2=4\) z prostą \(y=-1\) jest równa

## Odpowiedzi

- **A.** \( 0 \)
- **B.** \( 1 \)
- **C.** \( 2 \)
- **D.** \( 3 \)

**Prawidłowa odpowiedź:** C

## Wzór

Formuła 2015

## Rozwiązanie

**Krok 1: Sporządzenie rysunku pomocniczego.**

[obrazek: https://urqfqczecfbhzvrlsvmp.supabase.co/storage/v1/object/public/task-images/solutions-generated/matura-pr-bna-operon-listopad-2011-19.png]

Aby znaleźć liczbę punktów wspólnych okręgu i prostej, podstawia się równanie prostej do równania okręgu.

**Krok 2: Analiza danych**

Okrąg: $$(x-1)^2 + y^2 = 4$$
- środek: $$S = (1, 0)$$
- promień: $$r = 2$$ (bo $$r^2 = 4$$)

Prosta: $$y = -1$$

**Krok 3: Podstawienie równania prostej do równania okręgu**

Podstawia się $$y = -1$$ do równania okręgu:

$$(x-1)^2 + (-1)^2 = 4$$

$$(x-1)^2 + 1 = 4$$

$$(x-1)^2 = 3$$

**Krok 4: Rozwiązanie równania**

$$x - 1 = \pm\sqrt{3}$$

$$x = 1 \pm \sqrt{3}$$

Otrzymuje się dwa rozwiązania:
- $$x_1 = 1 - \sqrt{3}$$
- $$x_2 = 1 + \sqrt{3}$$

**Krok 5: Punkty wspólne**

Okrąg i prosta mają dwa punkty wspólne:
- $$A = (1 - \sqrt{3}, -1)$$
- $$B = (1 + \sqrt{3}, -1)$$

**Weryfikacja geometryczna:**

Odległość środka okręgu $$S = (1, 0)$$ od prostej $$y = -1$$:
$$d = |0 - (-1)| = 1$$

Ponieważ $$d = 1 < r = 2$$, prosta przecina okrąg w dwóch punktach.

**Odpowiedź: C**

---
Więcej zadań: https://www.sprawnamatura.pl/topics/geometria-analityczna
Cały arkusz: https://www.sprawnamatura.pl/exams/matura-probna-operon-listopad-2011