---
route: /task/matura-pr-bna-operon-listopad-2011-16
title: Zadanie matura-pr-bna-operon-listopad-2011-16
source: Matura próbna Operon listopad 2011
category: Trygonometria
points: 1
type: closed
---

# Zadanie matura-pr-bna-operon-listopad-2011-16

**Źródło:** Matura próbna Operon listopad 2011
**Kategoria:** Trygonometria
**Punkty:** 1
**Typ:** zamknięte

## Treść zadania

Kąt \(\alpha \) jest ostry oraz \(\sin \alpha =\frac{2}{5}\). Wówczas

## Odpowiedzi

- **A.** \( \cos \alpha =\sin \alpha \)
- **B.** \( \cos \alpha >\sin \alpha \)
- **C.** \( \cos \alpha \lt \sin \alpha \)
- **D.** \( \cos \alpha =1-\sin \alpha \)

**Prawidłowa odpowiedź:** B

## Wzór

Formuła 2015

## Rozwiązanie

**Krok 1: Sporządzenie rysunku pomocniczego.**

[obrazek: https://urqfqczecfbhzvrlsvmp.supabase.co/storage/v1/object/public/task-images/solutions-generated/matura-pr-bna-operon-listopad-2011-16.png]

Dane: kąt \(\alpha\) jest ostry, \(\sin \alpha = \frac{2}{5}\)

**Krok 2: Obliczenie \(\cos \alpha\)**

Z tożsamości trygonometrycznej:
$$\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$$

Podstawiamy:
$$\left(\frac{2}{5}\right)^2 + \cos^2 \alpha = 1$$

$$\frac{4}{25} + \cos^2 \alpha = 1$$

$$\cos^2 \alpha = 1 - \frac{4}{25} = \frac{25-4}{25} = \frac{21}{25}$$

Ponieważ \(\alpha\) jest kątem ostrym (czyli \(0°  0\), zatem:
$$\cos \alpha = \sqrt{\frac{21}{25}} = \frac{\sqrt{21}}{5}$$

**Krok 3: Porównanie \(\cos \alpha\) i \(\sin \alpha\)**

Musimy porównać \(\frac{\sqrt{21}}{5}\) z \(\frac{2}{5}\).

Ponieważ mianowniki są równe, wystarczy porównać liczniki:
$$\sqrt{21} \; ? \; 2$$

Podnosimy obie strony do kwadratu (obie są dodatnie):
$$21 > 4$$

Zatem:
$$\sqrt{21} > 2$$

A więc:
$$\frac{\sqrt{21}}{5} > \frac{2}{5}$$

czyli:
$$\cos \alpha > \sin \alpha$$

**Sprawdzenie pozostałych opcji:**
- A: \(\cos \alpha = \sin \alpha\) — fałsz (udowodniliśmy nierówność)
- C: \(\cos \alpha < \sin \alpha\) — fałsz (odwrotnie)
- D: \(\cos \alpha = 1 - \sin \alpha = 1 - \frac{2}{5} = \frac{3}{5}\), ale \(\cos \alpha = \frac{\sqrt{21}}{5} \approx \frac{4,58}{5}\) — fałsz

**Odpowiedź: B**

---
Więcej zadań: https://www.sprawnamatura.pl/topics/trygonometria
Cały arkusz: https://www.sprawnamatura.pl/exams/matura-probna-operon-listopad-2011