---
route: /task/matura-pr-bna-marzec-2021-35
title: Zadanie matura-pr-bna-marzec-2021-35
source: Matura próbna marzec 2021
category: Ciągi
points: 5
type: open
---

# Zadanie matura-pr-bna-marzec-2021-35

**Źródło:** Matura próbna marzec 2021
**Kategoria:** Ciągi
**Punkty:** 5
**Typ:** otwarte

## Treść zadania

Rosnący ciąg arytmetyczny \((a_n)\) jest określony dla każdej liczby naturalnej \(n\ge 1\). Suma pierwszych pięciu wyrazów tego ciągu jest równa \(10\). Wyrazy \(a_3, a_5, a_{13}\) tworzą – w podanej kolejności – ciąg geometryczny. Wyznacz wzór na \(n\)-ty wyraz ciągu arytmetycznego \((a_n)\).

**Prawidłowa odpowiedź:** \(a_n=3n-7\)

## Wzór

Formuła 2015

## Rozwiązanie

Krok 1. Obliczenie wartości \(a_{3}\).

Z treści zadania wiemy, że suma pierwszych pięciu wyrazów jest równa \(10\), czyli:

$$S_{5}=10 \\

a_{1}+a_{2}+a_{3}+a_{4}+a_{5}=10$$

Spróbujmy teraz każdy z tych wyrazów powiązać z \(a_{3}\). Dlaczego akurat z \(a_{3}\)? Jest to wyraz, który bardzo nam pasuje, bo nie dość, że jest środkowym wyrazem tej sumy (co jak się za chwilę okaże, ma spore znaczenie), to jeszcze występuje w ciągu geometrycznym. Z własności ciągów wiemy, że:

$$a_{1}=a_{3}-2r \\

a_{2}=a_{3}-r \\

a_{4}=a_{3}+r \\

a_{5}=a_{3}+2r$$

Możemy więc zapisać, że:

$$a_{3}-2r+a_{3}-r+a_{3}+a_{3}+r+a_{3}+2r=10$$

Wartości \(r\) występujące w równaniu tak naprawdę się nam skrócą i zostanie jedynie niewiadoma \(a_{3}\), zatem:

$$5a_{3}=10 \\

a_{3}=2$$

Krok 2. Wykorzystanie własności ciągów geometrycznych.

Paradoksalnie, różnicę ciągu arytmetycznego obliczymy korzystając z informacji na temat ciągu geometrycznego. Rozpiszmy sobie wartości \(a_{5}\) i \(a_{13}\), powiązując je z \(a_{3}\) (którego wartość już znamy, bowiem \(a_{3}=2\)):

$$a_{5}=a_{3}+2r=2+2r \\

a_{13}=a_{3}+10r=2+10r$$

Wiemy, że \(a_{3}, a_{5}, a_{13}\) tworząc ciąg geometryczny. Możemy skorzystać z jednej z własności ciągów geometrycznych i zapisać, że w takim razie:

$$\frac{a_{5}}{a_{3}}=\frac{a_{13}}{a_{5}} \\

\frac{2+2r}{2}=\frac{2+10r}{2+2r}$$

Mnożąc na krzyż, otrzymamy:

$$(2+2r)\cdot(2+2r)=2\cdot(2+10r)$$

Po lewej stronie równania możemy skorzystać ze wzoru skróconego mnożenia \((a+b)=a^2+2ab+b^2\), zatem:

$$4+8r+4r^2=4+20r \\

4r^2-12r=0 \\

r^2-3r=0$$

Krok 3. Obliczenie różnicy ciągu arytmetycznego.

Powstało nam równanie kwadratowe, które musimy teraz rozwiązać. Oczywiście możemy to zrobić przy pomocy delty (pamiętając, że tutaj współczynnik \(c=0\)), ale wiemy już, że takie równania kwadratowe możemy rozwiązać w znacznie prostszy sposób, wyłączając \(r\) przed nawias:

$$r^2-3r=0 \\

r\cdot(r-3)=0 \\

r=0 \quad\lor\quad r-3=0 \\

r=0 \quad\lor\quad r=3$$

Krok 4. Weryfikacja otrzymanego wyniku.

Otrzymaliśmy dwa wyniki, ale czy oba nam pasują? Z treści zadania wynika, że ciąg arytmetyczny jest rosnący, a to sprawia, że na pewno \(r\) nie może być równe \(0\), bo dla \(r=0\) nasz ciąg byłby stały. W związku z tym jedynym pasującym rozwiązaniem będzie \(r=3\).

Krok 5. Zapisanie wzoru ciągu.

Skorzystamy ze wzoru na \(n\)-ty wyraz ciągu arytmetycznego:

$$a_{n}=a_{1}+(n-1)\cdot r$$

Widzimy, że musimy poznać jeszcze wartość \(a_{1}\), a skoro \(a_{3}=2\) oraz \(r=3\), to:

$$a_{1}=a_{3}-2r \\

a_{1}=2-2\cdot3 \\

a_{1}=2-6 \\

a_{1}=-4$$

Teraz możemy podstawić \(a_{1}=-4\) oraz \(r=3\) do wzoru na \(n\)-ty wyraz ciągu arytmetycznego, otrzymując:

$$a_{n}=-4+(n-1)\cdot3 \\

a_{n}=-4+3n-3 \\

a_{n}=3n-7$$

![rysunek](https://urqfqczecfbhzvrlsvmp.supabase.co/storage/v1/object/public/task-images/solutions/matura-459.png)

---
Więcej zadań: https://www.sprawnamatura.pl/topics/ciagi
Cały arkusz: https://www.sprawnamatura.pl/exams/matura-probna-marzec-2021