---
route: /task/matura-pr-bna-marzec-2021-33
title: Zadanie matura-pr-bna-marzec-2021-33
source: Matura próbna marzec 2021
category: Planimetria
points: 2
type: open
---

# Zadanie matura-pr-bna-marzec-2021-33

**Źródło:** Matura próbna marzec 2021
**Kategoria:** Planimetria
**Punkty:** 2
**Typ:** otwarte

## Treść zadania

Dany jest czworokąt \(ABCD\), w którym \(|BC|=|CD|=|AD|=13\) (zobacz rysunek). Przekątna \(BD\) tego czworokąta ma długość \(10\) i jest prostopadła do boku \(AD\). Oblicz pole czworokąta \(ABCD\).

**Prawidłowa odpowiedź:** \(125\)

## Wzór

Formuła 2015

## Rozwiązanie

Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.

Dorysowując wskazaną w zadaniu przekątną BD otrzymamy tak naprawdę dwa trójkąty - prostokątny \(ABD\) oraz równoramienny \(BCD\).

Chcąc poznać pole całego czworokąta, musimy poznać pola tych dwóch trójkątów.

Krok 2. Obliczenie pola trójkąta \(ABD\).

Tutaj sprawa jest prosta - korzystamy ze standardowego wzoru na pole trójkąta:

$$P_{ABD}=\frac{1}{2}ah \\

P_{ABD}=\frac{1}{2}\cdot13\cdot10 \\

P_{ABD}=65$$

Krok 3. Obliczenie wysokości trójkąta \(BCD\).

Z własności trójkątów równoramiennych wiemy, że wysokość przecina podstawę trójkąta na dwie równe części. Skoro tak, to powstanie nam taka oto sytuacja:

Widzimy wyraźnie, że powstały nam tutaj dwa podobne trójkąty prostokątne, zatem wysokość trójkąta \(BCD\) obliczymy z Twierdzenia Pitagorasa:

$$5^2+h^2=13^2 \\

25+h^2=169 \\

h^2=144 \\

h=12 \quad\lor\quad h=-12$$

Ujemną wartość odrzucamy, bo wysokość musi być dodatnia, zatem \(h=12\).

Krok 4. Obliczenie pola trójkąta \(BCD\).

Znamy już wysokość tego trójkąta, czyli \(h=12\). Wiemy też, że podstawa ma długość \(a=10\), zatem:

$$P_{BCD}=\frac{1}{2}ah \\

P_{BCD}=\frac{1}{2}\cdot10\cdot12 \\

P_{BCD}=60$$

Krok 5. Obliczenie pola czworokąta.

Na koniec została już tylko formalność. Pole czworokąta \(ABCD\) jest sumą pól trójkątów \(ABD\) oraz \(BCD\), zatem:

$$P_{ABCD}=P_{ABD}+P_{BCD} \\

P_{ABCD}=65+60 \\

P_{ABCD}=125$$

![rysunek](https://urqfqczecfbhzvrlsvmp.supabase.co/storage/v1/object/public/task-images/solutions/matura-456.png)

![rysunek](https://urqfqczecfbhzvrlsvmp.supabase.co/storage/v1/object/public/task-images/solutions/matura-459.png)

![rysunek](https://urqfqczecfbhzvrlsvmp.supabase.co/storage/v1/object/public/task-images/solutions/matura-460.png)

---
Więcej zadań: https://www.sprawnamatura.pl/topics/planimetria
Cały arkusz: https://www.sprawnamatura.pl/exams/matura-probna-marzec-2021