---
route: /task/matura-pr-bna-marzec-2021-32
title: Zadanie matura-pr-bna-marzec-2021-32
source: Matura próbna marzec 2021
category: Trygonometria
points: 2
type: open
---

# Zadanie matura-pr-bna-marzec-2021-32

**Źródło:** Matura próbna marzec 2021
**Kategoria:** Trygonometria
**Punkty:** 2
**Typ:** otwarte

## Treść zadania

Kąt \(\alpha \) jest ostry i \(\sin \alpha + \cos \alpha = \frac{7}{5}\). Oblicz wartość wyrażenia \(2\sin \alpha \cos\alpha\).

**Prawidłowa odpowiedź:** \(\frac{24}{25}\)

## Wzór

Formuła 2015

## Rozwiązanie

Do zadania możemy podejść standardowo i korzystając z jedynki trygonometrycznej możemy wyznaczyć wartości sinusa i cosinusa. Ale istnieje znacznie sprytniejszy sposób na poznanie wartości wyrażenia \(2sinα cosα\). Taki zapis powinien nam się kojarzyć ze wzorami skróconego mnożenia i to będzie właśnie klucz do rozwiązania zadania.

Jeżeli podniesiemy obie strony równania \(sin\alpha+cos\alpha=\frac{7}{5}\) do kwadratu, to otrzymamy:

$$(sinα+cosα)^2=\left(\frac{7}{5}\right)^2$$

Korzystając po lewej stronie ze wzoru skróconego mnożenia \((a+b)^2=a^2+2ab+b^2\), otrzymamy:

$$sin^2α+2sinα\cdot cosα+cos^2α=\frac{49}{25}$$

Z jedynki trygonometrycznej wiemy, że \(sin^2α+cos^2α=1\), zatem:

$$sin^2α+cos^2α+2sinα\cdot cosα=\frac{49}{25} \\

1+2sinα\cdot cosα=1\frac{24}{25} \\

2sinα\cdot cosα=\frac{24}{25}$$

---
Więcej zadań: https://www.sprawnamatura.pl/topics/trygonometria
Cały arkusz: https://www.sprawnamatura.pl/exams/matura-probna-marzec-2021