---
route: /task/matura-pr-bna-marzec-2021-31
title: Zadanie matura-pr-bna-marzec-2021-31
source: Matura próbna marzec 2021
category: Planimetria
points: 2
type: open
---

# Zadanie matura-pr-bna-marzec-2021-31

**Źródło:** Matura próbna marzec 2021
**Kategoria:** Planimetria
**Punkty:** 2
**Typ:** otwarte

## Treść zadania

Dany jest trójkąt prostokątny, którego przyprostokątne mają długości \(a\) i \(b\). Punkt \(O\) leży na przeciwprostokątnej tego trójkąta i jest środkiem okręgu stycznego do przyprostokątnych tego trójkąta (zobacz rysunek). Wykaż, że promień \(r\) tego okręgu jest równy \(\frac{ab}{a+b}\)

## Wzór

Formuła 2015

## Rozwiązanie

Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.

Jedną z własności stycznych do okręgu jest to, że promień okręgu tworzy ze styczną kąt prosty. To oznacza, że na rysunku powstanie nam taka oto sytuacja:

Co więcej, możemy w takim razie podpisać dwa odcinki jako \(a-r\) oraz \(b-r\):

Krok 2. Dostrzeżenie trójkątów podobnych.

Powinniśmy teraz zauważyć, że na rysunku mamy tak naprawdę dwa podobne trójkąty prostokątne. Skąd wiemy, że są one podobne? Wynika to z cechy kąt-kąt-kąt (obydwa mają kąt prosty, obydwa mają wspólny kąt ostry między bokiem \(b\) oraz przeciwprostokątną, zatem i trzecia miara kątów musi być wspólna).

Krok 3. Wykorzystanie cech podobieństwa trójkątów.

Korzystając z cech trójkątów podobnych możemy zapisać, że stosunek długości przyprostokątnych jednego trójkąta musi być taki sam, jak stosunek długości przyprostokątnych drugiego trójkąta, zatem:

$$\frac{a}{b}=\frac{r}{b-r}$$

Długości boków są zawsze dodatnie, więc bez obaw możemy teraz wykonać mnożenie na krzyż:

$$a\cdot(b-r)=br \\

ab-ar=br \\

ab=ar+br \\

ab=r(a+b) \\

r=\frac{ab}{a+b}$$

Otrzymaliśmy pożądaną postać, zatem dowodzenie możemy uznać za zakończone.

![rysunek](https://urqfqczecfbhzvrlsvmp.supabase.co/storage/v1/object/public/task-images/solutions/matura-455.png)

![rysunek](https://urqfqczecfbhzvrlsvmp.supabase.co/storage/v1/object/public/task-images/solutions/matura-456.png)

![rysunek](https://urqfqczecfbhzvrlsvmp.supabase.co/storage/v1/object/public/task-images/solutions/matura-457.png)

![rysunek](https://urqfqczecfbhzvrlsvmp.supabase.co/storage/v1/object/public/task-images/solutions/matura-458.png)

---
Więcej zadań: https://www.sprawnamatura.pl/topics/planimetria
Cały arkusz: https://www.sprawnamatura.pl/exams/matura-probna-marzec-2021