---
route: /task/matura-pr-bna-marzec-2021-25
title: Zadanie matura-pr-bna-marzec-2021-25
source: Matura próbna marzec 2021
category: Stereometria
points: 1
type: closed
---

# Zadanie matura-pr-bna-marzec-2021-25

**Źródło:** Matura próbna marzec 2021
**Kategoria:** Stereometria
**Punkty:** 1
**Typ:** zamknięte

## Treść zadania

Ostrosłupy prawidłowe trójkątne \(O_1\) i \(O_2\) mają takie same wysokości. Długość krawędzi podstawy ostrosłupa \(O_1\) jest trzy razy dłuższa od długości krawędzi podstawy ostrosłupa \(O_2\). Stosunek objętości ostrosłupa \(O_1\) do objętości ostrosłupa \(O_2\) jest równy

## Odpowiedzi

- **A.** \( 3:1 \)
- **B.** \( 1:3 \)
- **C.** \( 9:1 \)
- **D.** \( 1:9 \)

**Prawidłowa odpowiedź:** C

## Wzór

Formuła 2015

## Rozwiązanie

Krok 1. Obliczenie pól podstaw obu ostrosłupów.

Ostrosłup prawidłowy trójkątny ma w swojej podstawie trójkąt równoboczny. Wzór na pole takiego trójkąta to \(P=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}\).

Z treści zadania wynika, że krawędź podstawy ostrosłupa \(O_{1}\) (czyli krawędź trójkąta równobocznego) ma długość \(3a\), natomiast ostrosłupa \(O_{2}\) ma długość \(a\). Skoro tak, to pola podstaw tych ostrosłupów będą równe:

$$P_{p1}=\frac{(3a)^2\sqrt{3}}{4}=\frac{9a^2\sqrt{3}}{4} \\

P_{p2}=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}$$

Krok 2. Zapisanie objętości ostrosłupów.

Korzystając ze wzoru na objętość \(V=\frac{1}{3}P_{p}\cdot H\) możemy zapisać, że:

$$V_{1}=\frac{1}{3}\cdot\frac{9a^2\sqrt{3}}{4}\cdot H \\

V_{1}=\frac{9a^2\sqrt{3}}{12}\cdot H$$

$$V_{2}=\frac{1}{3}\cdot\frac{a^2\sqrt{3}}{4}\cdot H \\

V_{2}=\frac{a^2\sqrt{3}}{12}\cdot H$$

Krok 3. Obliczenie stosunku objętości.

Interesuje nas stosunek objętości ostrosłupa \(O_{1}\) do objętości ostrosłupa \(O_{2}\). Porównując obliczone przed chwilą objętości widzimy wyraźnie, że \(V_{1}\) jest \(9\) razy większe od \(V_{2}\) (to przez tą dziewiątkę, która stoi przed \(a^2\)), stąd też stosunek objętości na pewno wynosi \(9:1\). Gdybyśmy nie byli tego pewni, to zawsze możemy rozpisać to w ten sposób:

$$\frac{V_{1}}{V_{2}}=\dfrac{\frac{9a^2\sqrt{3}}{12}\cdot H}{\frac{a^2\sqrt{3}}{12}\cdot H}=\frac{9a^2\sqrt{3}}{12}:\frac{a^2\sqrt{3}}{12}=\frac{9a^2\sqrt{3}}{12}\cdot\frac{12}{a^2\sqrt{3}}=\frac{9}{1}$$

![rysunek](https://urqfqczecfbhzvrlsvmp.supabase.co/storage/v1/object/public/task-images/solutions/matura-465.png)

---
Więcej zadań: https://www.sprawnamatura.pl/topics/stereometria
Cały arkusz: https://www.sprawnamatura.pl/exams/matura-probna-marzec-2021