---
route: /task/matura-pr-bna-marzec-2021-17
title: Zadanie matura-pr-bna-marzec-2021-17
source: Matura próbna marzec 2021
category: Planimetria
points: 1
type: closed
---

# Zadanie matura-pr-bna-marzec-2021-17

**Źródło:** Matura próbna marzec 2021
**Kategoria:** Planimetria
**Punkty:** 1
**Typ:** zamknięte

## Treść zadania

Przez punkt przecięcia wysokości trójkąta równobocznego \(ABC\) poprowadzono prostą \(DE\) równoległą do podstawy \(AB\) (zobacz rysunek). Stosunek pola trójkąta \(ABC\) do pola trójkąta \(CDE\) jest równy

## Odpowiedzi

- **A.** \( 9:4 \)
- **B.** \( 4:1 \)
- **C.** \( 4:9 \)
- **D.** \( 3:2 \)

**Prawidłowa odpowiedź:** A

## Wzór

Formuła 2015

## Rozwiązanie

Krok 1. Dostrzeżenie trójkątów podobnych i wykorzystanie własności trójkątów równobocznych.

Powinniśmy dostrzec, że skoro prosta \(DE\) jest równoległą do podstawy \(AB\), to trójkąt \(DEC\) jest podobny do trójkąta \(ABC\).

Dodatkowo z własności trójkątów równobocznych wiemy, że odległość od punktu przecięcia się wysokości aż do wierzchołka, stanowi \(\frac{2}{3}h\). Skoro tak i skoro trójkąty \(ABC\) oraz \(DEC\) są podobne, to analogicznie podstawa \(DE\) będzie stanowić \(\frac{2}{3}\) długości podstawy \(AB\).

Z naszych analiz wynika więc, że mamy taką oto sytuację:

Krok 2. Obliczenie pola powierzchni trójkątów \(ABC\) oraz \(DEC\).

Ze wzoru na pole trójkąta możemy zapisać, że:

$$P_{ABC}=\frac{1}{2}ah \\

\text{oraz} \\

P_{DEC}=\frac{1}{2}\cdot\frac{2}{3}a\cdot\frac{2}{3}h \\

P_{DEC}=\frac{4}{18}ah$$

Krok 3. Obliczenie stosunku pól powierzchni trójkątów \(ABC\) oraz \(DEC\).

Interesuje nas stosunek pól tych dwóch trójkątów, zatem:

$$\frac{P_{ABC}}{P_{DEC}}=\frac{\frac{1}{2}ah}{\frac{4}{18}ah}=\frac{\frac{1}{2}}{\frac{4}{18}}=\frac{1}{2}:\frac{4}{18}=\frac{1}{2}\cdot\frac{18}{4}=\frac{18}{8}=\frac{9}{4}$$

To oznacza, że stosunek tych dwóch pól jest równy \(9:4\).

![rysunek](https://urqfqczecfbhzvrlsvmp.supabase.co/storage/v1/object/public/task-images/solutions/matura-464.png)

---
Więcej zadań: https://www.sprawnamatura.pl/topics/planimetria
Cały arkusz: https://www.sprawnamatura.pl/exams/matura-probna-marzec-2021