---
route: /task/matura-pr-bna-marzec-2021-14
title: Zadanie matura-pr-bna-marzec-2021-14
source: Matura próbna marzec 2021
category: Ciągi
points: 1
type: closed
---

# Zadanie matura-pr-bna-marzec-2021-14

**Źródło:** Matura próbna marzec 2021
**Kategoria:** Ciągi
**Punkty:** 1
**Typ:** zamknięte

## Treść zadania

Ciągi \((a_n), (b_n)\) oraz \((c_n)\) są określone dla każdej liczby naturalnej \(n\ge1\) następująco: \(a_n=6n^2-n^3\) \(b_n=2n+13\) \(c_n=2^n\) Wskaż zdanie prawdziwe.

## Odpowiedzi

- **A.** Ciąg \((a_n)\) jest arytmetyczny.
- **B.** Ciąg \((b_n)\) jest arytmetyczny.
- **C.** Ciąg \((c_n)\) jest arytmetyczny.
- **D.** Wśród ciągów \((a_n), (b_n), (c_n)\) nie ma ciągu arytmetycznego.

**Prawidłowa odpowiedź:** B

## Wzór

Formuła 2015

## Rozwiązanie

Teoretycznie już po samym wzorze powinniśmy się zorientować, że jedynie ciąg \((b_{n})\) jest arytmetyczny. Nie mniej jednak, aby nie było żadnych wątpliwości, dobrze jest sprawdzić sobie kilka początkowych wyrazów każdego ciągu. Przykładowo:

Ciąg \(a_{n}\):

$$a_{1}=6\cdot1^2-1^3=6-1=5 \\

a_{2}=6\cdot2^2-2^3=6\cdot4-8=24-8=16 \\

a_{3}=6\cdot3^2-3^3=6\cdot9-27=54-27=27 \\

a_{4}=6\cdot4^2-4^3=6\cdot16-64=96-64=32$$

To nie jest ciąg arytmetyczny, bo \(a_{2}-a_{1}=11\), natomiast \(a_{4}-a_{3}=5\).

Ciąg \(b_{n}\):

$$b_{1}=2\cdot1+13=2+13=15 \\

b_{2}=2\cdot2+13=4+13=17 \\

b_{3}=2\cdot3+13=6+13=19 \\

b_{4}=2\cdot4+13=8+13=21$$

Tu wyraźnie widzimy, że każdy kolejny wyraz jest o \(2\) większy od poprzedniego i że tym samym jest to ciąg arytmetyczny, w którym \(r=2\).

Ciąg \(c_{n}\):

$$c_{1}=2^1=2 \\

c_{2}=2^2=4 \\

c_{3}=2^3=8 \\

c_{4}=2^4=16$$

To nie jest ciąg arytmetyczny, bo \(c_{2}-c_{1}=2\), natomiast \(c_{4}-c_{3}=8\).

Ciągiem arytmetycznym jest więc jedynie ciąg \((b_{n})\).

---
Więcej zadań: https://www.sprawnamatura.pl/topics/ciagi
Cały arkusz: https://www.sprawnamatura.pl/exams/matura-probna-marzec-2021