---
route: /task/matura-pr-bna-marzec-2013-30
title: Zadanie matura-pr-bna-marzec-2013-30
source: Matura próbna marzec 2013
category: Stereometria
points: 5
type: open
---

# Zadanie matura-pr-bna-marzec-2013-30

**Źródło:** Matura próbna marzec 2013
**Kategoria:** Stereometria
**Punkty:** 5
**Typ:** otwarte

## Treść zadania

Piramida Cheopsa ma kształt ostrosłupa prawidłowego czworokątnego. Każda ściana boczna jest nachylona do płaszczyzny podstawy ostrosłupa pod kątem \(52^\circ \), a pole powierzchni ściany bocznej jest równe \(21\ 550 \) m 2 . Oblicz objętość piramidy. Wynik zapisz w postaci \(a\cdot 10k\), gdzie \(1\le a\lt 10\) i \(k\) jest liczbą całkowitą.

**Prawidłowa odpowiedź:** \(2{,}61\cdot 10^6\)

## Wzór

Formuła 2015

## Rozwiązanie

## Krok 1: Sporządzenie rysunku pomocniczego.

[obrazek: https://urqfqczecfbhzvrlsvmp.supabase.co/storage/v1/object/public/task-images/solutions-generated/matura-pr-bna-marzec-2013-30.png]

## Dane i oznaczenia

- Ostrosłup prawidłowy czworokątny z podstawą o boku \(a\)
- Kąt nachylenia ściany bocznej do podstawy: \(\alpha = 52°\)
- Pole ściany bocznej: \(P_{śc} = 21\,550\) m²

Oznaczmy:
- \(a\) - długość boku podstawy
- \(h\) - wysokość ostrosłupa
- \(s\) - wysokość ściany bocznej (apotema)

## Krok 2: Znajdowanie zależności między wymiarami

Ściana boczna to trójkąt równoramienny. Jego pole:
$$P_{śc} = \frac{1}{2} \cdot a \cdot s = 21\,550$$

Stąd:
$$a \cdot s = 43\,100 \quad \text{...(1)}$$

## Krok 3: Związek kąta nachylenia z wysokością

Kąt nachylenia ściany bocznej mierzymy między wysokością ściany \(s\) a jej rzutem na podstawę.

Rzut wysokości ściany na podstawę ma długość \(\frac{a}{2}\) (odległość od środka podstawy do środka boku).

Z trójkąta prostokątnego:
$$\tan(52°) = \frac{h}{\frac{a}{2}} = \frac{2h}{a}$$

Zatem:
$$h = \frac{a \cdot \tan(52°)}{2} \quad \text{...(2)}$$

## Krok 4: Związek między \(s\), \(h\) i \(a\)

Z twierdzenia Pitagorasa w trójkącie prostokątnym (wysokość ostrosłupa, rzut wysokości ściany, wysokość ściany):
$$s^2 = h^2 + \left(\frac{a}{2}\right)^2$$

Podstawiając \(h\) z równania (2):
$$s^2 = \left(\frac{a \cdot \tan(52°)}{2}\right)^2 + \frac{a^2}{4}$$

$$s^2 = \frac{a^2 \cdot \tan^2(52°)}{4} + \frac{a^2}{4} = \frac{a^2}{4}\left(\tan^2(52°) + 1\right)$$

$$s^2 = \frac{a^2}{4} \cdot \frac{1}{\cos^2(52°)}$$

$$s = \frac{a}{2\cos(52°)} \quad \text{...(3)}$$

## Krok 5: Obliczanie \(a\)

Z równań (1) i (3):
$$a \cdot \frac{a}{2\cos(52°)} = 43\,100$$

$$\frac{a^2}{2\cos(52°)} = 43\,100$$

$$a^2 = 86\,200 \cdot \cos(52°)$$

Dla \(\cos(52°) \approx 0{,}6157\):
$$a^2 = 86\,200 \cdot 0{,}6157 \approx 53\,073$$

$$a \approx 230{,}4 \text{ m}$$

## Krok 6: Obliczanie wysokości \(h\)

Z równania (2), gdzie \(\tan(52°) \approx 1{,}2799\):
$$h = \frac{230{,}4 \cdot 1{,}2799}{2} \approx 147{,}4 \text{ m}$$

## Krok 7: Obliczanie objętości

Objętość ostrosłupa:
$$V = \frac{1}{3} \cdot a^2 \cdot h$$

$$V = \frac{1}{3} \cdot 53\,073 \cdot 147{,}4$$

$$V = \frac{1}{3} \cdot 7\,822\,958 \approx 2\,607\,653 \text{ m}^3$$

$$V \approx 2{,}61 \cdot 10^6 \text{ m}^3$$

**Odpowiedź:** \(2{,}61 \cdot 10^6\) m³

---
Więcej zadań: https://www.sprawnamatura.pl/topics/stereometria
Cały arkusz: https://www.sprawnamatura.pl/exams/matura-probna-marzec-2013