---
route: /task/matura-pr-bna-marzec-2013-29
title: Zadanie matura-pr-bna-marzec-2013-29
source: Matura próbna marzec 2013
category: Równania i nierówności
points: 5
type: open
---

# Zadanie matura-pr-bna-marzec-2013-29

**Źródło:** Matura próbna marzec 2013
**Kategoria:** Równania i nierówności
**Punkty:** 5
**Typ:** otwarte

## Treść zadania

Do zbiornika można doprowadzić wodę dwiema rurami. Czas napełniania zbiornika tylko pierwszą rurą jest o \(5\) godzin i \(30\) minut krótszy od czasu napełniania tego zbiornika tylko drugą rurą, natomiast \(15\) godzin trwa napełnienie tego zbiornika obiema rurami jednocześnie. Oblicz, w ciągu ilu godzin pusty zbiornik zostanie napełniony, jeśli woda będzie doprowadzana tylko pierwszą rurą.

**Prawidłowa odpowiedź:** \(27{,}5\) godziny

## Wzór

Formuła 2015

## Rozwiązanie

Oznaczmy przez \(t\) czas (w godzinach) napełniania zbiornika pierwszą rurą.

## Analiza danych

- Pierwsza rura napełnia zbiornik w czasie: \(t\) godzin
- Druga rura napełnia zbiornik w czasie: \(t + 5{,}5\) godzin (bo o 5h 30min = 5,5h dłużej)
- Obie rury razem napełniają zbiornik w czasie: \(15\) godzin

## Wydajności rur

Przyjmijmy pojemność zbiornika za \(1\) (całość).

Wydajność to część zbiornika napełniana w ciągu 1 godziny:
- Wydajność pierwszej rury: \(\frac{1}{t}\) zbiornika na godzinę
- Wydajność drugiej rury: \(\frac{1}{t+5{,}5}\) zbiornika na godzinę
- Wydajność obu rur razem: \(\frac{1}{15}\) zbiornika na godzinę

## Równanie

Gdy obie rury pracują jednocześnie, ich wydajności się sumują:

$$\frac{1}{t} + \frac{1}{t+5{,}5} = \frac{1}{15}$$

## Rozwiązanie równania

Mnożymy obie strony przez \(15t(t+5{,}5)\):

$$15(t+5{,}5) + 15t = t(t+5{,}5)$$

$$15t + 82{,}5 + 15t = t^2 + 5{,}5t$$

$$30t + 82{,}5 = t^2 + 5{,}5t$$

$$0 = t^2 + 5{,}5t - 30t - 82{,}5$$

$$t^2 - 24{,}5t - 82{,}5 = 0$$

Mnożymy przez 2, aby pozbyć się ułamków dziesiętnych:

$$2t^2 - 49t - 165 = 0$$

Korzystamy ze wzoru na deltę:

$$\Delta = (-49)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-165) = 2401 + 1320 = 3721 = 61^2$$

$$t = \frac{49 \pm 61}{4}$$

Dwa rozwiązania:
- \(t = \frac{49 + 61}{4} = \frac{110}{4} = 27{,}5\)
- \(t = \frac{49 - 61}{4} = \frac{-12}{4} = -3\) (odrzucamy jako ujemne)

## Sprawdzenie

Dla \(t = 27{,}5\):
- Pierwsza rura: \(\frac{1}{27{,}5}\) zbiornika/h
- Druga rura: \(\frac{1}{33}\) zbiornika/h
- Razem: \(\frac{1}{27{,}5} + \frac{1}{33} = \frac{2}{55} + \frac{1}{33} = \frac{6}{165} + \frac{5}{165} = \frac{11}{165} = \frac{1}{15}\) ✓

**Odpowiedź: Zbiornik zostanie napełniony pierwszą rurą w ciągu \(27{,}5\) godziny.**

---
Więcej zadań: https://www.sprawnamatura.pl/topics/rownania-i-nierownosci
Cały arkusz: https://www.sprawnamatura.pl/exams/matura-probna-marzec-2013