---
route: /task/matura-pr-bna-marzec-2013-28
title: Zadanie matura-pr-bna-marzec-2013-28
source: Matura próbna marzec 2013
category: Prawdopodobieństwo
points: 4
type: open
---

# Zadanie matura-pr-bna-marzec-2013-28

**Źródło:** Matura próbna marzec 2013
**Kategoria:** Prawdopodobieństwo
**Punkty:** 4
**Typ:** otwarte

## Treść zadania

W pojemniku jest osiem kul ponumerowanych od \(1\) do \(8\), przy czym kule z numerami, których reszta z dzielenia przez \(3\) jest równa \(1\) są białe, a pozostałe kule są czarne. Losujemy z pojemnika jednocześnie dwie kule. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że wylosujemy kule różnych kolorów, których iloczyn numerów będzie większy od \(6\) i nie większy od \(35\).

**Prawidłowa odpowiedź:** \(P(A)=\frac{9}{28}\)

## Wzór

Formuła 2015

## Rozwiązanie

## Krok 1: Określenie kolorów kul

Kule białe to te, których numer przy dzieleniu przez 3 daje resztę 1:
- Numery: 1, 4, 7
- **Kule białe: {1, 4, 7}** (3 kule)

Kule czarne to pozostałe:
- Numery: 2, 3, 5, 6, 8
- **Kule czarne: {2, 3, 5, 6, 8}** (5 kul)

## Krok 2: Przestrzeń zdarzeń elementarnych

Losujemy jednocześnie 2 kule z 8:
$$|\Omega| = \binom{8}{2} = \frac{8 \cdot 7}{2} = 28$$

## Krok 3: Warunki zdarzenia A

Szukamy par spełniających:
1. Kule są różnych kolorów (jedna biała, jedna czarna)
2. Iloczyn numerów: \(6 < ab \leq 35\)

## Krok 4: Wszystkie możliwe pary różnych kolorów

Musimy wybrać jedną kulę białą i jedną czarną:
$$\text{Liczba takich par} = 3 \cdot 5 = 15$$

## Krok 5: Sprawdzenie warunku na iloczyn

Sprawdzamy każdą parę (biała, czarna):

**Biała kula nr 1:**
- \(1 \cdot 2 = 2\) ❌ (nie większe od 6)
- \(1 \cdot 3 = 3\) ❌
- \(1 \cdot 5 = 5\) ❌
- \(1 \cdot 6 = 6\) ❌
- \(1 \cdot 8 = 8\) ✓

**Biała kula nr 4:**
- \(4 \cdot 2 = 8\) ✓
- \(4 \cdot 3 = 12\) ✓
- \(4 \cdot 5 = 20\) ✓
- \(4 \cdot 6 = 24\) ✓
- \(4 \cdot 8 = 32\) ✓

**Biała kula nr 7:**
- \(7 \cdot 2 = 14\) ✓
- \(7 \cdot 3 = 21\) ✓
- \(7 \cdot 5 = 35\) ✓
- \(7 \cdot 6 = 42\) ❌ (większe od 35)
- \(7 \cdot 8 = 56\) ❌

## Krok 6: Zliczenie par spełniających warunki

Pary spełniające warunek \(6 < ab \leq 35\):
- Z kulą białą 1: 1 para
- Z kulą białą 4: 5 par
- Z kulą białą 7: 3 pary

$$|A| = 1 + 5 + 3 = 9$$

## Krok 7: Obliczenie prawdopodobieństwa

$$P(A) = \frac{|A|}{|\Omega|} = \frac{9}{28}$$

**Odpowiedź: \(P(A) = \frac{9}{28}\)**

---
Więcej zadań: https://www.sprawnamatura.pl/topics/prawdopodobienstwo
Cały arkusz: https://www.sprawnamatura.pl/exams/matura-probna-marzec-2013