---
route: /task/matura-pr-bna-marzec-2013-27
title: Zadanie matura-pr-bna-marzec-2013-27
source: Matura próbna marzec 2013
category: Planimetria
points: 4
type: open
---

# Zadanie matura-pr-bna-marzec-2013-27

**Źródło:** Matura próbna marzec 2013
**Kategoria:** Planimetria
**Punkty:** 4
**Typ:** otwarte

## Treść zadania

Promień okręgu opisanego na trójkącie prostokątnym jest równy \(2\sqrt{5}\). Jedna z przyprostokątnych tego trójkąta jest o \(4\) dłuższa od drugiej przyprostokątnej. Oblicz wysokość tego trójkąta opuszczoną na przeciwprostokątną.

**Prawidłowa odpowiedź:** \(h=\frac{8\sqrt{5}}{5}\)

## Wzór

Formuła 2015

## Rozwiązanie

## Krok 1: Sporządzenie rysunku pomocniczego.

[obrazek: https://urqfqczecfbhzvrlsvmp.supabase.co/storage/v1/object/public/task-images/solutions-generated/matura-pr-bna-marzec-2013-27.png]

Oznaczmy przyprostokątne trójkąta jako \(a\) i \(b\), gdzie \(b = a + 4\).

## Krok 2: Znajdź przeciwprostokątną

W trójkącie prostokątnym promień okręgu opisanego jest równy połowie przeciwprostokątnej:

$$R = \frac{c}{2}$$

gdzie \(c\) to przeciwprostokątna.

Mamy \(R = 2\sqrt{5}\), więc:

$$c = 2R = 2 \cdot 2\sqrt{5} = 4\sqrt{5}$$

## Krok 3: Zastosuj twierdzenie Pitagorasa

Z twierdzenia Pitagorasa:

$$a^2 + b^2 = c^2$$

Podstawiamy \(b = a + 4\) i \(c = 4\sqrt{5}\):

$$a^2 + (a+4)^2 = (4\sqrt{5})^2$$

$$a^2 + a^2 + 8a + 16 = 80$$

$$2a^2 + 8a + 16 = 80$$

$$2a^2 + 8a - 64 = 0$$

$$a^2 + 4a - 32 = 0$$

## Krok 4: Rozwiąż równanie kwadratowe

$$\Delta = 16 + 128 = 144$$

$$a = \frac{-4 \pm 12}{2}$$

Ponieważ \(a > 0\):

$$a = \frac{-4 + 12}{2} = 4$$

Zatem:
$$b = a + 4 = 8$$

## Krok 5: Oblicz wysokość opuszczoną na przeciwprostokątną

Pole trójkąta można obliczyć na dwa sposoby:

$$P = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b = \frac{1}{2} \cdot c \cdot h$$

gdzie \(h\) to wysokość opuszczona na przeciwprostokątną.

$$\frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 8 = \frac{1}{2} \cdot 4\sqrt{5} \cdot h$$

$$16 = 2\sqrt{5} \cdot h$$

$$h = \frac{16}{2\sqrt{5}} = \frac{8}{\sqrt{5}}$$

## Krok 6: Zracjonalizuj mianownik

$$h = \frac{8}{\sqrt{5}} \cdot \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}} = \frac{8\sqrt{5}}{5}$$

**Odpowiedź:** \(h = \frac{8\sqrt{5}}{5}\)

---
Więcej zadań: https://www.sprawnamatura.pl/topics/planimetria
Cały arkusz: https://www.sprawnamatura.pl/exams/matura-probna-marzec-2013