---
route: /task/matura-pr-bna-marzec-2013-24
title: Zadanie matura-pr-bna-marzec-2013-24
source: Matura próbna marzec 2013
category: Równania i nierówności
points: 2
type: open
---

# Zadanie matura-pr-bna-marzec-2013-24

**Źródło:** Matura próbna marzec 2013
**Kategoria:** Równania i nierówności
**Punkty:** 2
**Typ:** otwarte

## Treść zadania

Udowodnij, że dla dowolnych liczb rzeczywistych \(x\) i \(y\) prawdziwa jest nierówność \[x^2+xy+y^2\ge 2x+2y-4\]

## Wzór

Formuła 2015

## Rozwiązanie

Przekształca się nierówność do postaci, w której łatwiej będzie udowodnić jej prawdziwość.

**Krok 1: Przeniesienie wszystkich wyrazów na lewą stronę**

$$x^2 + xy + y^2 \ge 2x + 2y - 4$$

$$x^2 + xy + y^2 - 2x - 2y + 4 \ge 0$$

Trzeba udowodnić, że lewa strona jest zawsze nieujemna.

**Krok 2: Grupowanie wyrazów**

Przekształca się lewą stronę, wykorzystując metodę dopełniania do kwadratu:

$$x^2 - 2x + xy + y^2 - 2y + 4 \ge 0$$

Grupuję wyrazy zawierające \(x\):

$$x^2 + xy - 2x + y^2 - 2y + 4 \ge 0$$

**Krok 3: Traktowanie jako funkcja kwadratowa względem \(x\)**

Traktuję to jako funkcję kwadratową \(f(x) = x^2 + x(y-2) + (y^2 - 2y + 4)\).

Funkcja kwadratowa z dodatnim współczynnikiem przy \(x^2\) jest nieujemna dla wszystkich \(x\) wtedy i tylko wtedy, gdy jej wyróżnik \(\Delta \le 0\).

**Krok 4: Obliczenie wyróżnika**

$$\Delta = (y-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (y^2 - 2y + 4)$$

$$\Delta = y^2 - 4y + 4 - 4y^2 + 8y - 16$$

$$\Delta = -3y^2 + 4y - 12$$

**Krok 5: Sprawdzenie znaku wyróżnika**

Trzeba pokazać, że \(-3y^2 + 4y - 12 \le 0\) dla wszystkich \(y\).

$$-3y^2 + 4y - 12 \le 0$$

$$3y^2 - 4y + 12 \ge 0$$

Oblicza się wyróżnik tego wyrażenia:

$$\Delta' = 16 - 4 \cdot 3 \cdot 12 = 16 - 144 = -128 < 0$$

Ponieważ współczynnik przy \(y^2\) jest dodatni (równy 3) i \(\Delta' < 0\), to wyrażenie \(3y^2 - 4y + 12\) jest zawsze dodatnie dla wszystkich \(y \in \mathbb{R}\).

**Krok 6: Wnioskowanie**

Skoro \(\Delta = -3y^2 + 4y - 12 < 0\) dla wszystkich \(y\), to funkcja \(f(x) = x^2 + x(y-2) + (y^2 - 2y + 4)\) jest zawsze dodatnia dla wszystkich \(x\) i \(y\).

Zatem:
$$x^2 + xy + y^2 - 2x - 2y + 4 \ge 0$$

co oznacza, że:
$$x^2 + xy + y^2 \ge 2x + 2y - 4$$

dla dowolnych liczb rzeczywistych \(x\) i \(y\). **□**

---
Więcej zadań: https://www.sprawnamatura.pl/topics/rownania-i-nierownosci
Cały arkusz: https://www.sprawnamatura.pl/exams/matura-probna-marzec-2013