---
route: /task/matura-pr-bna-marzec-2013-23
title: Zadanie matura-pr-bna-marzec-2013-23
source: Matura próbna marzec 2013
category: Trygonometria
points: 2
type: open
---

# Zadanie matura-pr-bna-marzec-2013-23

**Źródło:** Matura próbna marzec 2013
**Kategoria:** Trygonometria
**Punkty:** 2
**Typ:** otwarte

## Treść zadania

Kąty ostre \(\alpha \) i \(\beta \) trójkąta prostokątnego spełniają warunek \(\sin^{2} \alpha +\sin^{2}\beta +\operatorname{tg}^{2}\alpha =4\) . Wyznacz miarę kąta \(\alpha \).

**Prawidłowa odpowiedź:** \(\alpha =60^\circ \)

## Wzór

Formuła 2015

## Rozwiązanie

[obrazek: https://urqfqczecfbhzvrlsvmp.supabase.co/storage/v1/object/public/task-images/solutions-generated/matura-pr-bna-marzec-2013-23.png]

Skoro \(\alpha\) i \(\beta\) są kątami ostrymi trójkąta prostokątnego, to:

$$\alpha + \beta = 90°$$

Zatem \(\beta = 90° - \alpha\), co oznacza:

$$\sin \beta = \sin(90° - \alpha) = \cos \alpha$$

Podstawia się do danego równania:

$$\sin^2 \alpha + \sin^2 \beta + \operatorname{tg}^2 \alpha = 4$$

$$\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha + \operatorname{tg}^2 \alpha = 4$$

Korzysta się z jedynki trygonometrycznej \(\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1\):

$$1 + \operatorname{tg}^2 \alpha = 4$$

$$\operatorname{tg}^2 \alpha = 3$$

$$\operatorname{tg} \alpha = \sqrt{3}$$

(biorę wartość dodatnią, bo \(\alpha\) jest kątem ostrym)

Z tablicy wartości funkcji trygonometrycznych dla kątów specjalnych:

$$\operatorname{tg} 60° = \sqrt{3}$$

**Sprawdzenie:** 

Dla \(\alpha = 60°\) mamy \(\beta = 30°\):
- \(\sin 60° = \frac{\sqrt{3}}{2}\), więc \(\sin^2 60° = \frac{3}{4}\)
- \(\sin 30° = \frac{1}{2}\), więc \(\sin^2 30° = \frac{1}{4}\)
- \(\operatorname{tg}^2 60° = 3\)

Suma: \(\frac{3}{4} + \frac{1}{4} + 3 = 1 + 3 = 4\) ✓

**Odpowiedź:** \(\alpha = 60°\)

---
Więcej zadań: https://www.sprawnamatura.pl/topics/trygonometria
Cały arkusz: https://www.sprawnamatura.pl/exams/matura-probna-marzec-2013