---
route: /task/matura-pr-bna-marzec-2013-22
title: Zadanie matura-pr-bna-marzec-2013-22
source: Matura próbna marzec 2013
category: Geometria analityczna
points: 2
type: open
---

# Zadanie matura-pr-bna-marzec-2013-22

**Źródło:** Matura próbna marzec 2013
**Kategoria:** Geometria analityczna
**Punkty:** 2
**Typ:** otwarte

## Treść zadania

Punkty \(A = (-3, 4)\) i \(C = (1,3)\) są wierzchołkami kwadratu \(ABCD\). Wyznacz równanie prostej zawierającej przekątną \(BD\) tego kwadratu.

**Prawidłowa odpowiedź:** \(y=4x+\frac{15}{2}\)

## Wzór

Formuła 2015

## Rozwiązanie

**Krok 1: Sporządzenie rysunku pomocniczego.**

[obrazek: https://urqfqczecfbhzvrlsvmp.supabase.co/storage/v1/object/public/task-images/solutions-generated/matura-pr-bna-marzec-2013-22.png]

Mamy kwadrat ABCD, gdzie znamy dwa wierzchołki: \(A = (-3, 4)\) i \(C = (1, 3)\).

**Krok 2: Ustalenie, które wierzchołki mamy**

Ponieważ zadanie mówi o przekątnej BD, a znamy punkty A i C, to A i C są przeciwległymi wierzchołkami kwadratu (leżą na jednej przekątnej AC).

**Krok 3: Środek kwadratu**

Przekątne kwadratu przecinają się w jego środku. Znajdźmy środek S przekątnej AC:

$$S = \left(\frac{-3+1}{2}, \frac{4+3}{2}\right) = \left(-1, \frac{7}{2}\right)$$

**Krok 4: Wektor przekątnej AC**

$$\overrightarrow{AC} = [1-(-3), 3-4] = [4, -1]$$

**Krok 5: Kierunek przekątnej BD**

W kwadracie przekątne są prostopadłe. Jeśli \(\overrightarrow{AC} = [4, -1]\), to wektor prostopadły otrzymamy zamieniając współrzędne i zmieniając znak jednej z nich:

$$\overrightarrow{BD} = [1, 4]$$

(Sprawdzenie: \(4 \cdot 1 + (-1) \cdot 4 = 4 - 4 = 0\) ✓)

**Krok 6: Równanie prostej BD**

Prosta BD przechodzi przez środek \(S = \left(-1, \frac{7}{2}\right)\) i ma kierunek \([1, 4]\).

Współczynnik kierunkowy: \(a = \frac{4}{1} = 4\)

Równanie prostej w postaci kierunkowej:

$$y - \frac{7}{2} = 4(x - (-1))$$

$$y - \frac{7}{2} = 4(x + 1)$$

$$y - \frac{7}{2} = 4x + 4$$

$$y = 4x + 4 + \frac{7}{2}$$

$$y = 4x + \frac{8}{2} + \frac{7}{2}$$

$$y = 4x + \frac{15}{2}$$

**Odpowiedź:** Równanie prostej zawierającej przekątną BD to \(y = 4x + \frac{15}{2}\)

---
Więcej zadań: https://www.sprawnamatura.pl/topics/geometria-analityczna
Cały arkusz: https://www.sprawnamatura.pl/exams/matura-probna-marzec-2013