---
route: /task/matura-pr-bna-marzec-2013-19
title: Zadanie matura-pr-bna-marzec-2013-19
source: Matura próbna marzec 2013
category: Geometria analityczna
points: 1
type: closed
---

# Zadanie matura-pr-bna-marzec-2013-19

**Źródło:** Matura próbna marzec 2013
**Kategoria:** Geometria analityczna
**Punkty:** 1
**Typ:** zamknięte

## Treść zadania

Punkt \(S\) jest środkiem wysokości \(CD\) trójkąta równoramiennego \(ABC\), w którym \(|AC|=|BC|=5\) oraz \(|CD|=4\) (zobacz rysunek). Odległość punktu \(S\) od ramienia tego trójkąta jest równa

## Odpowiedzi

- **A.** \( \frac{6}{5} \)
- **B.** \( \frac{3}{2} \)
- **C.** \( \frac{12}{5} \)
- **D.** \( \frac{5}{2} \)

**Prawidłowa odpowiedź:** A

## Wzór

Formuła 2015

## Rozwiązanie

Rozwiązuje się zadanie krok po kroku.

## Analiza sytuacji

Trójkąt \(ABC\) jest równoramienny z \(|AC| = |BC| = 5\). Wysokość \(CD\) opuszczona na podstawę \(AB\) ma długość \(|CD| = 4\). Punkt \(S\) jest środkiem odcinka \(CD\), więc \(|CS| = |SD| = 2\).

## Układ współrzędnych

Umieszczam trójkąt w układzie współrzędnych:
- Punkt \(D\) (podstawa wysokości) w początku układu: \(D = (0, 0)\)
- Punkt \(C\) (wierzchołek) na osi \(y\): \(C = (0, 4)\)
- Podstawa \(AB\) leży na osi \(x\)

## Znajdowanie punktu \(A\)

Ponieważ \(CD\) jest wysokością, punkt \(A\) leży na osi \(x\): \(A = (a, 0)\) dla pewnego \(a > 0\).

Z warunku \(|AC| = 5\):

$$|AC|^2 = a^2 + 4^2 = 25$$

$$a^2 = 25 - 16 = 9$$

$$a = 3$$

Zatem \(A = (3, 0)\).

Z symetrii trójkąta równoramiennego: \(B = (-3, 0)\).

## Położenie punktu \(S\)

Punkt \(S\) jest środkiem \(CD\):

$$S = \left(0, \frac{0 + 4}{2}\right) = (0, 2)$$

## Odległość od ramienia \(AC\)

Wyznacza się równanie prostej \(AC\) przechodzącej przez \(A = (3, 0)\) i \(C = (0, 4)\).

Postać odcinkowa:
$$\frac{x}{3} + \frac{y}{4} = 1$$

Postać ogólna:
$$4x + 3y - 12 = 0$$

## Obliczenie odległości

Odległość punktu \(S = (0, 2)\) od prostej \(4x + 3y - 12 = 0\):

$$d = \frac{|4 \cdot 0 + 3 \cdot 2 - 12|}{\sqrt{4^2 + 3^2}} = \frac{|0 + 6 - 12|}{\sqrt{16 + 9}} = \frac{|-6|}{\sqrt{25}} = \frac{6}{5}$$

## Weryfikacja

Z symetrii trójkąta, odległość od ramienia \(BC\) będzie taka sama.

**Odpowiedź: A**

---
Więcej zadań: https://www.sprawnamatura.pl/topics/geometria-analityczna
Cały arkusz: https://www.sprawnamatura.pl/exams/matura-probna-marzec-2013