---
route: /task/matura-pr-bna-marzec-2013-15
title: Zadanie matura-pr-bna-marzec-2013-15
source: Matura próbna marzec 2013
category: Stereometria
points: 1
type: closed
---

# Zadanie matura-pr-bna-marzec-2013-15

**Źródło:** Matura próbna marzec 2013
**Kategoria:** Stereometria
**Punkty:** 1
**Typ:** zamknięte

## Treść zadania

Wysokość graniastosłupa prawidłowego czworokątnego jest równa \(6\), a kąt nachylenia jego przekątnej do płaszczyzny podstawy jest równy \(60^\circ \). Długość tej przekątnej jest równa

## Odpowiedzi

- **A.** \(3\)
- **B.** \(\sqrt{3}\)
- **C.** \(2\sqrt{3}\)
- **D.** \(4\sqrt{3}\)

**Prawidłowa odpowiedź:** D

## Wzór

Formuła 2015

## Rozwiązanie

**Krok 1: Sporządzenie rysunku pomocniczego.**

[obrazek: https://urqfqczecfbhzvrlsvmp.supabase.co/storage/v1/object/public/task-images/solutions-generated/matura-pr-bna-marzec-2013-15.png]

Oznaczmy:
- \(a\) – długość krawędzi podstawy
- \(H = 6\) – wysokość graniastosłupa
- \(d\) – długość przekątnej graniastosłupa
- \(\alpha = 60°\) – kąt nachylenia przekątnej do płaszczyzny podstawy

**Krok 2: Analiza geometryczna**

Przekątna graniastosłupa łączy dwa przeciwległe wierzchołki (jeden w dolnej, drugi w górnej podstawie). Rzut tej przekątnej na płaszczyznę podstawy jest przekątną kwadratu.

**Krok 3: Przekątna podstawy**

Dla kwadratu o boku \(a\), długość przekątnej wynosi:
$$d_{\text{podst}} = a\sqrt{2}$$

**Krok 4: Związek trygonometryczny**

Przekątna graniastosłupa, jej rzut na podstawę i wysokość tworzą trójkąt prostokątny, gdzie:
- przyprostokątna pionowa: \(H = 6\)
- przyprostokątna pozioma: \(d_{\text{podst}} = a\sqrt{2}\)
- przeciwprostokątna: \(d\)

Kąt \(60°\) jest między przekątną \(d\) a podstawą, więc:
$$\tan(60°) = \frac{H}{d_{\text{podst}}}$$

**Krok 5: Obliczenie przekątnej podstawy**

$$\sqrt{3} = \frac{6}{d_{\text{podst}}}$$

$$d_{\text{podst}} = \frac{6}{\sqrt{3}} = \frac{6\sqrt{3}}{3} = 2\sqrt{3}$$

**Krok 6: Obliczenie przekątnej graniastosłupa**

Z twierdzenia Pitagorasa:
$$d^2 = H^2 + d_{\text{podst}}^2$$

$$d^2 = 6^2 + (2\sqrt{3})^2 = 36 + 12 = 48$$

$$d = \sqrt{48} = \sqrt{16 \cdot 3} = 4\sqrt{3}$$

**Odpowiedź: D**

---
Więcej zadań: https://www.sprawnamatura.pl/topics/stereometria
Cały arkusz: https://www.sprawnamatura.pl/exams/matura-probna-marzec-2013