---
route: /task/matura-pr-bna-marzec-2013-05
title: Zadanie matura-pr-bna-marzec-2013-05
source: Matura próbna marzec 2013
category: Planimetria
points: 1
type: closed
---

# Zadanie matura-pr-bna-marzec-2013-05

**Źródło:** Matura próbna marzec 2013
**Kategoria:** Planimetria
**Punkty:** 1
**Typ:** zamknięte

## Treść zadania

Promień okręgu opisanego na trójkącie równobocznym jest równy \( \frac{16\sqrt{3}}{3} \). Obwód tego trójkąta jest równy

## Odpowiedzi

- **A.** \(16\)
- **B.** \(32\)
- **C.** \(48\)
- **D.** \(64\)

**Prawidłowa odpowiedź:** C

## Wzór

Formuła 2015

## Rozwiązanie

**Krok 1: Sporządzenie rysunku pomocniczego.**

[obrazek: https://urqfqczecfbhzvrlsvmp.supabase.co/storage/v1/object/public/task-images/solutions-generated/matura-pr-bna-marzec-2013-05.png]

Oznaczmy długość boku trójkąta równobocznego przez \(a\).

**Krok 2: Wzór na promień okręgu opisanego na trójkącie równobocznym**

Dla trójkąta równobocznego o boku \(a\) promień okręgu opisanego wynosi:

$$R = \frac{a}{\sqrt{3}}$$

Można to wyprowadzić z ogólnego wzoru \(R = \frac{a}{2\sin\alpha}\), gdzie dla trójkąta równobocznego \(\alpha = 60°\), więc:

$$R = \frac{a}{2\sin 60°} = \frac{a}{2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{a}{\sqrt{3}}$$

**Krok 3: Podstawienie danych z zadania**

Z treści zadania wiemy, że:

$$R = \frac{16\sqrt{3}}{3}$$

Podstawiamy do wzoru:

$$\frac{a}{\sqrt{3}} = \frac{16\sqrt{3}}{3}$$

**Krok 4: Wyznaczenie długości boku**

Mnożymy obie strony przez \(\sqrt{3}\):

$$a = \frac{16\sqrt{3}}{3} \cdot \sqrt{3}$$

$$a = \frac{16\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}}{3}$$

$$a = \frac{16 \cdot 3}{3}$$

$$a = 16$$

**Krok 5: Obliczenie obwodu**

Obwód trójkąta równobocznego:

$$Obw = 3a = 3 \cdot 16 = 48$$

**Odpowiedź: C**

---
Więcej zadań: https://www.sprawnamatura.pl/topics/planimetria
Cały arkusz: https://www.sprawnamatura.pl/exams/matura-probna-marzec-2013