---
route: /task/matura-pr-bna-marzec-2012-2-30
title: Zadanie matura-pr-bna-marzec-2012-2-30
source: Matura próbna marzec 2012 (2)
category: Stereometria
points: 5
type: open
---

# Zadanie matura-pr-bna-marzec-2012-2-30

**Źródło:** Matura próbna marzec 2012 (2)
**Kategoria:** Stereometria
**Punkty:** 5
**Typ:** otwarte

## Treść zadania

Podstawą ostrosłupa \(ABCDS\) jest kwadrat \(ABCD\). Wysokość \(SE\) ściany bocznej \(ADS\) jest jednocześnie wysokością ostrosłupa, a punkt \(E\) jest środkiem krawędzi \(AD\) (zobacz rysunek). Pole ściany \(ADS\) jest równe \(12\) cm 2 , a objętość ostrosłupa jest równa \(48\) cm 3 . Oblicz miarę kąta nachylenia krawędzi bocznej \(CS\) do płaszczyzny podstawy ostrosłupa. Wynik zaokrąglij do \(1^\circ \).

**Prawidłowa odpowiedź:** \(31^\circ \)

## Wzór

Formuła 2015

## Rozwiązanie

## Krok 1: Sporządzenie rysunku pomocniczego.

[obrazek: https://urqfqczecfbhzvrlsvmp.supabase.co/storage/v1/object/public/task-images/solutions-generated/matura-pr-bna-marzec-2012-2-30.png]

Analiza sytuacji geometrycznej stanowi punkt wyjścia do obliczeń.

## Oznaczenia i analiza sytuacji

Niech bok kwadratu \(ABCD\) ma długość \(a\), a wysokość ostrosłupa (czyli \(SE\)) ma długość \(h\).

Ponieważ \(E\) jest środkiem \(AD\) i \(SE\) jest wysokością ostrosłupa, to \(SE \perp ABCD\).

## Krok 2: Pole ściany \(ADS\)

Ściana \(ADS\) jest trójkątem o podstawie \(AD = a\) i wysokości \(SE = h\) (ponieważ \(SE\) jest wysokością tego trójkąta).

$$P_{ADS} = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h = 12$$

Zatem:
$$ah = 24$$

## Krok 3: Objętość ostrosłupa

Objętość ostrosłupa o podstawie kwadratowej:
$$V = \frac{1}{3} \cdot a^2 \cdot h = 48$$

Zatem:
$$a^2h = 144$$

## Krok 4: Wyznaczenie \(a\) i \(h\)

Z równań \(ah = 24\) i \(a^2h = 144\):

Dzieląc drugie przez pierwsze:
$$\frac{a^2h}{ah} = \frac{144}{24}$$
$$a = 6 \text{ cm}$$

Podstawiając do pierwszego równania:
$$6h = 24$$
$$h = 4 \text{ cm}$$

## Krok 5: Układ współrzędnych

Przyjmuje się układ współrzędnych z \(E\) jako początkiem:
- \(E = (0, 0, 0)\)
- \(A = (-3, 0, 0)\)
- \(D = (3, 0, 0)\)
- \(B = (-3, 6, 0)\)
- \(C = (3, 6, 0)\)
- \(S = (0, 0, 4)\)

## Krok 6: Kąt nachylenia krawędzi \(CS\)

Kąt nachylenia krawędzi \(CS\) do płaszczyzny podstawy to kąt \(\alpha\) w trójkącie prostokątnym, gdzie:
- przeciwprostokątna to \(CS\)
- przyprostokątne to rzut \(CS\) na podstawę (czyli \(CE\)) i wysokość \(h\)

Oblicza się \(CE\):
$$CE = \sqrt{(3-0)^2 + (6-0)^2 + (0-0)^2} = \sqrt{9 + 36} = \sqrt{45} = 3\sqrt{5} \text{ cm}$$

Oblicza się \(CS\):
$$CS = \sqrt{(3-0)^2 + (6-0)^2 + (0-4)^2} = \sqrt{9 + 36 + 16} = \sqrt{61} \text{ cm}$$

## Krok 7: Wyznaczenie kąta

Kąt nachylenia \(\alpha\) spełnia:
$$\sin \alpha = \frac{h}{CS} = \frac{4}{\sqrt{61}}$$

lub równoważnie:
$$\tan \alpha = \frac{h}{CE} = \frac{4}{3\sqrt{5}} = \frac{4\sqrt{5}}{15}$$

Oblicza się:
$$\alpha = \arctan\left(\frac{4\sqrt{5}}{15}\right) = \arctan\left(\frac{4 \cdot 2.236...}{15}\right) = \arctan(0.5963...)$$

$$\alpha \approx 30.8°$$

Zaokrąglając do \(1°\):

$$\boxed{\alpha = 31°}$$

---
Więcej zadań: https://www.sprawnamatura.pl/topics/stereometria
Cały arkusz: https://www.sprawnamatura.pl/exams/matura-probna-marzec-2012-2