---
route: /task/matura-pr-bna-marzec-2012-2-29
title: Zadanie matura-pr-bna-marzec-2012-2-29
source: Matura próbna marzec 2012 (2)
category: Geometria analityczna
points: 4
type: open
---

# Zadanie matura-pr-bna-marzec-2012-2-29

**Źródło:** Matura próbna marzec 2012 (2)
**Kategoria:** Geometria analityczna
**Punkty:** 4
**Typ:** otwarte

## Treść zadania

Prosta o równaniu \(y = x + 2\) przecina okrąg o równaniu \((x - 3)^2 + (y - 5)^2 = 25\) w punktach \(A\) i \(B\). Oblicz współrzędne punktów \(A\) i \(B\) oraz wyznacz równanie stycznej do danego okręgu przechodzącej przez jeden z tych punktów.

**Prawidłowa odpowiedź:** \(y=-x+8-5\sqrt{2}\)

## Wzór

Formuła 2015

## Rozwiązanie

## Krok 1: Sporządzenie rysunku pomocniczego.

[obrazek: https://urqfqczecfbhzvrlsvmp.supabase.co/storage/v1/object/public/task-images/solutions-generated/matura-pr-bna-marzec-2012-2-29.png]

## Krok 2: Znajdźmy punkty przecięcia prostej z okręgiem

Podstawiamy \(y = x + 2\) do równania okręgu:

$$(x - 3)^2 + (y - 5)^2 = 25$$

$$(x - 3)^2 + (x + 2 - 5)^2 = 25$$

$$(x - 3)^2 + (x - 3)^2 = 25$$

$$2(x - 3)^2 = 25$$

$$(x - 3)^2 = \frac{25}{2}$$

$$x - 3 = \pm\frac{5}{\sqrt{2}} = \pm\frac{5\sqrt{2}}{2}$$

$$x = 3 \pm \frac{5\sqrt{2}}{2}$$

## Krok 3: Obliczmy współrzędne punktów A i B

Dla \(x_A = 3 + \frac{5\sqrt{2}}{2}\):

$$y_A = x_A + 2 = 3 + \frac{5\sqrt{2}}{2} + 2 = 5 + \frac{5\sqrt{2}}{2}$$

Dla \(x_B = 3 - \frac{5\sqrt{2}}{2}\):

$$y_B = x_B + 2 = 3 - \frac{5\sqrt{2}}{2} + 2 = 5 - \frac{5\sqrt{2}}{2}$$

**Punkty przecięcia:**
$$A = \left(3 + \frac{5\sqrt{2}}{2}, 5 + \frac{5\sqrt{2}}{2}\right), \quad B = \left(3 - \frac{5\sqrt{2}}{2}, 5 - \frac{5\sqrt{2}}{2}\right)$$

## Krok 4: Równanie stycznej w punkcie B

Okrąg ma środek \(S = (3, 5)\) i promień \(r = 5\).

Dla punktu \(B = \left(3 - \frac{5\sqrt{2}}{2}, 5 - \frac{5\sqrt{2}}{2}\right)\), wektor \(\overrightarrow{SB}\) jest prostopadły do stycznej.

$$\overrightarrow{SB} = \left(-\frac{5\sqrt{2}}{2}, -\frac{5\sqrt{2}}{2}\right)$$

Styczna jest prostopadła do promienia, więc jej współczynnik kierunkowy \(m_t\) spełnia:

$$m_{SB} = \frac{-\frac{5\sqrt{2}}{2}}{-\frac{5\sqrt{2}}{2}} = 1$$

$$m_t \cdot m_{SB} = -1 \implies m_t \cdot 1 = -1 \implies m_t = -1$$

## Krok 5: Zapiszmy równanie stycznej

Równanie stycznej przez punkt \(B\) o współczynniku kierunkowym \(m_t = -1\):

$$y - y_B = -1(x - x_B)$$

$$y - \left(5 - \frac{5\sqrt{2}}{2}\right) = -(x - \left(3 - \frac{5\sqrt{2}}{2}\right))$$

$$y = -x + 3 - \frac{5\sqrt{2}}{2} + 5 - \frac{5\sqrt{2}}{2}$$

$$y = -x + 8 - 5\sqrt{2}$$

**Odpowiedź:**
- Punkty przecięcia: \(A = \left(3 + \frac{5\sqrt{2}}{2}, 5 + \frac{5\sqrt{2}}{2}\right)\), \(B = \left(3 - \frac{5\sqrt{2}}{2}, 5 - \frac{5\sqrt{2}}{2}\right)\)
- Równanie stycznej: \(y = -x + 8 - 5\sqrt{2}\)

---
Więcej zadań: https://www.sprawnamatura.pl/topics/geometria-analityczna
Cały arkusz: https://www.sprawnamatura.pl/exams/matura-probna-marzec-2012-2