---
route: /task/matura-pr-bna-marzec-2012-2-28
title: Zadanie matura-pr-bna-marzec-2012-2-28
source: Matura próbna marzec 2012 (2)
category: Planimetria
points: 5
type: open
---

# Zadanie matura-pr-bna-marzec-2012-2-28

**Źródło:** Matura próbna marzec 2012 (2)
**Kategoria:** Planimetria
**Punkty:** 5
**Typ:** otwarte

## Treść zadania

Prostokątny pas wykładziny dywanowej o wymiarach \(3{,}6\) m na \(7{,}5\) m należy przeciąć prostopadle do dłuższego boku tak, aby przekątne otrzymanych dwóch prostokątnych kawałków różniły się o \(1{,}5\) m. Oblicz wymiary większego z otrzymanych kawałków.

**Prawidłowa odpowiedź:** \(4{,}8\) m i \(3{,}6\) m

## Wzór

Formuła 2015

## Rozwiązanie

**Krok 1: Sporządzenie rysunku pomocniczego.**

[obrazek: https://urqfqczecfbhzvrlsvmp.supabase.co/storage/v1/object/public/task-images/solutions-generated/matura-pr-bna-marzec-2012-2-28.png]

Oznaczymy wymiary i ustalimy zależności.

**Dane:**
- Prostokątny pas wykładziny: \(3{,}6\) m × \(7{,}5\) m
- Przecinamy prostopadle do dłuższego boku (czyli prostopadle do boku \(7{,}5\) m)
- Przekątne otrzymanych prostokątów różnią się o \(1{,}5\) m

**Krok 2: Ustalenie wymiarów po przecięciu**

Przecinamy prostopadle do dłuższego boku, więc tnąć będziemy wzdłuż krótszego boku.

Po przecięciu otrzymamy dwa prostokąty o wymiarach:
- Pierwszy prostokąt: \(3{,}6\) m × \(x\) m
- Drugi prostokąt: \(3{,}6\) m × \((7{,}5 - x)\) m

gdzie \(x\) to długość pierwszego kawałka (mierzona wzdłuż dłuższego boku).

**Krok 3: Obliczenie przekątnych**

Przekątna pierwszego prostokąta:
$$d_1 = \sqrt{3{,}6^2 + x^2}$$

Przekątna drugiego prostokąta:
$$d_2 = \sqrt{3{,}6^2 + (7{,}5 - x)^2}$$

**Krok 4: Warunek zadania**

Przekątne różnią się o \(1{,}5\) m. Zakładamy, że \(d_2 > d_1\) (sprawdzimy to później):
$$d_2 - d_1 = 1{,}5$$

$$\sqrt{3{,}6^2 + (7{,}5 - x)^2} - \sqrt{3{,}6^2 + x^2} = 1{,}5$$

**Krok 5: Rozwiązanie równania**

$$\sqrt{12{,}96 + (7{,}5 - x)^2} - \sqrt{12{,}96 + x^2} = 1{,}5$$

$$\sqrt{12{,}96 + (7{,}5 - x)^2} = \sqrt{12{,}96 + x^2} + 1{,}5$$

Podnosimy obie strony do kwadratu:
$$12{,}96 + (7{,}5 - x)^2 = 12{,}96 + x^2 + 3\sqrt{12{,}96 + x^2} + 2{,}25$$

$$56{,}25 - 15x + x^2 = x^2 + 3\sqrt{12{,}96 + x^2} + 2{,}25$$

$$54 - 15x = 3\sqrt{12{,}96 + x^2}$$

$$18 - 5x = \sqrt{12{,}96 + x^2}$$

Ponownie podnosimy do kwadratu:
$$(18 - 5x)^2 = 12{,}96 + x^2$$

$$324 - 180x + 25x^2 = 12{,}96 + x^2$$

$$24x^2 - 180x + 311{,}04 = 0$$

Dzielimy przez 24:
$$x^2 - 7{,}5x + 12{,}96 = 0$$

**Krok 6: Rozwiązanie równania kwadratowego**

$$\Delta = 56{,}25 - 51{,}84 = 4{,}41$$

$$x = \frac{7{,}5 \pm 2{,}1}{2}$$

$$x_1 = \frac{9{,}6}{2} = 4{,}8 \quad \text{lub} \quad x_2 = \frac{5{,}4}{2} = 2{,}7$$

**Krok 7: Wymiary otrzymanych kawałków**

Dla \(x = 4{,}8\):
- Kawałek 1: \(3{,}6\) m × \(4{,}8\) m
- Kawałek 2: \(3{,}6\) m × \(2{,}7\) m

Dla \(x = 2{,}7\) otrzymalibyśmy te same kawałki w odwrotnej kolejności.

**Odpowiedź:**

Wymiary większego kawałka to **\(3{,}6\) m × \(4{,}8\) m** (lub **\(4{,}8\) m × \(3{,}6\) m**).

---
Więcej zadań: https://www.sprawnamatura.pl/topics/planimetria
Cały arkusz: https://www.sprawnamatura.pl/exams/matura-probna-marzec-2012-2