---
route: /task/matura-pr-bna-marzec-2012-2-26
title: Zadanie matura-pr-bna-marzec-2012-2-26
source: Matura próbna marzec 2012 (2)
category: Planimetria
points: 2
type: open
---

# Zadanie matura-pr-bna-marzec-2012-2-26

**Źródło:** Matura próbna marzec 2012 (2)
**Kategoria:** Planimetria
**Punkty:** 2
**Typ:** otwarte

## Treść zadania

Wykaż, że jeżeli ramiona \(AD\) i \(BC\) trapezu \(ABCD\) o podstawach \(AB\) i \(CD\) zawierają się w prostych prostopadłych (zobacz rysunek), to \(|AB|^2 + |CD|^2 = |AC|^2 + |BD|^2\).

## Wzór

Formuła 2015

## Rozwiązanie

Oznaczmy długości podstaw: \( |AB| = a \), \( |CD| = c \), oraz długości ramion: \( |AD| = d_1 \), \( |BC| = d_2 \).

**Krok 1: Wprowadzenie układu współrzędnych**

Ponieważ ramiona \( AD \) i \( BC \) są prostopadłe, umieśćmy trapez w układzie współrzędnych tak, aby:
- prosta zawierająca ramię \( AD \) pokrywała się z osią \( Oy \)
- prosta zawierająca ramię \( BC \) pokrywała się z osią \( Ox \)

Punkt przecięcia tych prostych oznaczmy jako początek układu: \( O = (0, 0) \).

**Krok 2: Określenie współrzędnych wierzchołków**

Niech:
- \( D = (0, y_D) \) dla pewnego \( y_D > 0 \)
- \( A = (0, y_A) \) dla pewnego \( y_A  0 \)
- \( B = (x_B, 0) \) dla pewnego \( x_B > x_C \)

**Krok 3: Warunek równoległości podstaw**

Ponieważ \( AB \parallel CD \), wektory \( \overrightarrow{AB} \) i \( \overrightarrow{CD} \) muszą być równoległe.

$$\overrightarrow{AB} = (x_B, -y_A), \quad \overrightarrow{CD} = (x_C, -y_D)$$

Z warunku równoległości:
$$\frac{x_B}{x_C} = \frac{y_A}{y_D} = k$$

gdzie \( k > 0 \) jest pewnym współczynnikiem.

**Krok 4: Obliczenie kwadratów długości**

$$|AB|^2 = x_B^2 + y_A^2$$
$$|CD|^2 = x_C^2 + y_D^2$$
$$|AC|^2 = (x_C - 0)^2 + (0 - y_A)^2 = x_C^2 + y_A^2$$
$$|BD|^2 = (0 - x_B)^2 + (y_D - 0)^2 = x_B^2 + y_D^2$$

**Krok 5: Sprawdzenie równości**

Lewa strona:
$$|AB|^2 + |CD|^2 = x_B^2 + y_A^2 + x_C^2 + y_D^2$$

Prawa strona:
$$|AC|^2 + |BD|^2 = x_C^2 + y_A^2 + x_B^2 + y_D^2$$

**Krok 6: Wniosek**

Porównując obie strony:
$$x_B^2 + y_A^2 + x_C^2 + y_D^2 = x_C^2 + y_A^2 + x_B^2 + y_D^2$$

Równość jest spełniona na mocy przemienności dodawania.

$$\boxed{|AB|^2 + |CD|^2 = |AC|^2 + |BD|^2}$$

Co należało wykazać. □

---
Więcej zadań: https://www.sprawnamatura.pl/topics/planimetria
Cały arkusz: https://www.sprawnamatura.pl/exams/matura-probna-marzec-2012-2