---
route: /task/matura-pr-bna-marzec-2012-2-25
title: Zadanie matura-pr-bna-marzec-2012-2-25
source: Matura próbna marzec 2012 (2)
category: Równania i nierówności
points: 2
type: open
---

# Zadanie matura-pr-bna-marzec-2012-2-25

**Źródło:** Matura próbna marzec 2012 (2)
**Kategoria:** Równania i nierówności
**Punkty:** 2
**Typ:** otwarte

## Treść zadania

Udowodnij, że dla dowolnych liczb rzeczywistych \(x,y,z\) takich, że \(x+y+z=3\) prawdziwa jest nierówność: \(x^2+y^2+z^2\ge 3\).

## Wzór

Formuła 2015

## Rozwiązanie

Zastosujemy nierówność między średnią kwadratową a średnią arytmetyczną.

## Krok 1: Przypomnienie nierówności QM-AM

Dla dowolnych liczb rzeczywistych \(a, b, c\) zachodzi:
$$\sqrt{\frac{a^2+b^2+c^2}{3}} \ge \frac{a+b+c}{3}$$

## Krok 2: Podstawienie do nierówności

Podstawiamy \(a=x\), \(b=y\), \(c=z\):
$$\sqrt{\frac{x^2+y^2+z^2}{3}} \ge \frac{x+y+z}{3}$$

## Krok 3: Wykorzystanie warunku zadania

Z założenia wiemy, że \(x+y+z=3\), więc:
$$\sqrt{\frac{x^2+y^2+z^2}{3}} \ge \frac{3}{3} = 1$$

## Krok 4: Podniesienie obu stron do kwadratu

Ponieważ obie strony są nieujemne, możemy podnieść je do kwadratu:
$$\frac{x^2+y^2+z^2}{3} \ge 1$$

## Krok 5: Otrzymanie tezy

Mnożąc obie strony przez 3:
$$x^2+y^2+z^2 \ge 3$$

## Analiza równości

Równość zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy \(x=y=z\).

Z warunku \(x+y+z=3\) otrzymujemy \(3x=3\), czyli \(x=y=z=1\).

Sprawdzenie: \(1^2+1^2+1^2 = 3\) ✓

---

**Alternatywny dowód (przez rozwinięcie):**

Rozważmy wyrażenie:
$$(x-1)^2 + (y-1)^2 + (z-1)^2 \ge 0$$

Rozwijając:
$$x^2-2x+1 + y^2-2y+1 + z^2-2z+1 \ge 0$$
$$x^2+y^2+z^2 - 2(x+y+z) + 3 \ge 0$$
$$x^2+y^2+z^2 - 2\cdot 3 + 3 \ge 0$$
$$x^2+y^2+z^2 \ge 3$$

Co kończy dowód.

---
Więcej zadań: https://www.sprawnamatura.pl/topics/rownania-i-nierownosci
Cały arkusz: https://www.sprawnamatura.pl/exams/matura-probna-marzec-2012-2