---
route: /task/matura-pr-bna-marzec-2012-2-24
title: Zadanie matura-pr-bna-marzec-2012-2-24
source: Matura próbna marzec 2012 (2)
category: Ciągi
points: 2
type: open
---

# Zadanie matura-pr-bna-marzec-2012-2-24

**Źródło:** Matura próbna marzec 2012 (2)
**Kategoria:** Ciągi
**Punkty:** 2
**Typ:** otwarte

## Treść zadania

Ciąg \((a_n)\) jest określony dla \(n\ge 1\) wzorem \(a_n=-n^2-4\sqrt{3}\) . Sprawdź którym wyrazem tego ciągu jest liczba \(-3^2-(2+\sqrt{3})^2\).

**Prawidłowa odpowiedź:** czwartym

## Wzór

Formuła 2015

## Rozwiązanie

Musimy sprawdzić, dla jakiego \(n\) zachodzi równość \(a_n = -3^2-(2+\sqrt{3})^2\).

**Krok 1: Uprośćmy prawą stronę równania**

Rozwijamy wyrażenie:
$$-3^2-(2+\sqrt{3})^2 = -9 - (2+\sqrt{3})^2$$

Obliczamy \((2+\sqrt{3})^2\):
$$(2+\sqrt{3})^2 = 4 + 4\sqrt{3} + 3 = 7 + 4\sqrt{3}$$

Zatem:
$$-9 - (7 + 4\sqrt{3}) = -9 - 7 - 4\sqrt{3} = -16 - 4\sqrt{3}$$

**Krok 2: Przyrównujemy do wzoru ogólnego**

Mamy \(a_n = -n^2 - 4\sqrt{3}\), więc szukamy \(n\) takiego, że:
$$-n^2 - 4\sqrt{3} = -16 - 4\sqrt{3}$$

**Krok 3: Rozwiązujemy równanie**

Dodajemy \(4\sqrt{3}\) do obu stron:
$$-n^2 = -16$$

Mnożymy przez \(-1\):
$$n^2 = 16$$

Zatem:
$$n = 4 \quad \text{lub} \quad n = -4$$

**Krok 4: Wybieramy odpowiednie rozwiązanie**

Ponieważ ciąg jest określony dla \(n \geq 1\), to \(n = 4\).

**Weryfikacja:**
$$a_4 = -4^2 - 4\sqrt{3} = -16 - 4\sqrt{3} \,\checkmark$$

**Odpowiedź:** Liczba \(-3^2-(2+\sqrt{3})^2\) jest czwartym wyrazem ciągu \((a_n)\).

---
Więcej zadań: https://www.sprawnamatura.pl/topics/ciagi
Cały arkusz: https://www.sprawnamatura.pl/exams/matura-probna-marzec-2012-2