---
route: /task/matura-pr-bna-marzec-2012-2-23
title: Zadanie matura-pr-bna-marzec-2012-2-23
source: Matura próbna marzec 2012 (2)
category: Stereometria
points: 2
type: open
---

# Zadanie matura-pr-bna-marzec-2012-2-23

**Źródło:** Matura próbna marzec 2012 (2)
**Kategoria:** Stereometria
**Punkty:** 2
**Typ:** otwarte

## Treść zadania

Powierzchnia boczna stożka po rozwinięciu na płaszczyznę jest ćwiartką koła o promieniu \(8\) cm. Oblicz wysokość tego stożka.

**Prawidłowa odpowiedź:** \(h=2\sqrt{15}\)

## Wzór

Formuła 2015

## Rozwiązanie

## Dane z zadania

Powierzchnia boczna stożka po rozwinięciu to ćwiartka koła o promieniu \(8\) cm.

## Krok 1: Identyfikacja parametrów rozwinięcia

Po rozwinięciu powierzchni bocznej stożka na płaszczyznę:
- Promień ćwiartki koła = tworząca stożka = \(l = 8\) cm
- Łuk ćwiartki koła = obwód podstawy stożka

## Krok 2: Obliczenie długości łuku ćwiartki

Ćwiartka koła o promieniu \(8\) cm ma łuk stanowiący \(\frac{1}{4}\) obwodu pełnego koła:

$$\text{Długość łuku} = \frac{1}{4} \cdot 2\pi \cdot 8 = \frac{16\pi}{4} = 4\pi \text{ cm}$$

## Krok 3: Wyznaczenie promienia podstawy stożka

Łuk rozwinięcia równa się obwodowi podstawy stożka:

$$2\pi r = 4\pi$$

$$r = \frac{4\pi}{2\pi} = 2 \text{ cm}$$

## Krok 4: Zastosowanie twierdzenia Pitagorasa

W stożku zachodzi relacja między wysokością \(h\), promieniem podstawy \(r\) i tworzącą \(l\):

$$l^2 = h^2 + r^2$$

Podstawiamy znane wartości:

$$8^2 = h^2 + 2^2$$

$$64 = h^2 + 4$$

$$h^2 = 60$$

$$h = \sqrt{60} = \sqrt{4 \cdot 15} = 2\sqrt{15} \text{ cm}$$

## Odpowiedź

Wysokość stożka wynosi \(h = 2\sqrt{15}\) cm.

---
Więcej zadań: https://www.sprawnamatura.pl/topics/stereometria
Cały arkusz: https://www.sprawnamatura.pl/exams/matura-probna-marzec-2012-2