---
route: /task/matura-pr-bna-marzec-2012-2-18
title: Zadanie matura-pr-bna-marzec-2012-2-18
source: Matura próbna marzec 2012 (2)
category: Planimetria
points: 1
type: closed
---

# Zadanie matura-pr-bna-marzec-2012-2-18

**Źródło:** Matura próbna marzec 2012 (2)
**Kategoria:** Planimetria
**Punkty:** 1
**Typ:** zamknięte

## Treść zadania

Punkty \(A, B, C, D\) i \(E\) leżą na okręgu o środku \(S\) i dzielą ten okrąg na pięć łuków równej długości (zobacz rysunek). Wówczas miara kąta ostrego \(\alpha \) między cięciwą \(AB\) i styczną do tego okręgu w punkcie \(A\) jest równa

## Odpowiedzi

- **A.** \( \alpha =18^\circ \)
- **B.** \( \alpha =30^\circ \)
- **C.** \( \alpha =36^\circ \)
- **D.** \( \alpha =54^\circ \)

**Prawidłowa odpowiedź:** C

## Wzór

Formuła 2015

## Rozwiązanie

Rozwiązuje się krok po kroku.

**Krok 1: Analiza podziału okręgu**

Punkty \(A, B, C, D, E\) dzielą okrąg na 5 równych łuków. Pełny kąt wynosi \(360°\), więc każdy łuk odpowiada kątowi środkowemu:

$$\frac{360°}{5} = 72°$$

**Krok 2: Kąt środkowy dla łuku AB**

Kąt środkowy \(\angle ASB\) oparty na łuku \(AB\) wynosi:

$$\angle ASB = 72°$$

**Krok 3: Zastosowanie twierdzenia o kącie między cięciwą a styczną**

Kąt między cięciwą \(AB\) a styczną w punkcie \(A\) jest równy połowie kąta środkowego opartego na łuku \(AB\), który leży po tej samej stronie co styczna.

Alternatywnie, korzystamy z faktu, że:
- Styczna w punkcie \(A\) jest prostopadła do promienia \(SA\)
- Trójkąt \(SAB\) jest równoramienny (bo \(SA = SB\) jako promienie)

**Krok 4: Obliczenie kąta α**

W trójkącie równoramiennym \(SAB\):
- Kąt przy wierzchołku \(S\): \(\angle ASB = 72°\)
- Kąty przy podstawie są równe: \(\angle SAB = \angle SBA\)

Suma kątów w trójkącie:

$$\angle SAB + \angle SBA + 72° = 180°$$

$$2\angle SAB = 108°$$

$$\angle SAB = 54°$$

**Krok 5: Znalezienie kąta α**

Styczna w punkcie \(A\) jest prostopadła do promienia \(SA\), więc kąt między styczną a promieniem \(SA\) wynosi \(90°\).

Kąt \(\alpha\) między styczną a cięciwą \(AB\) to:

$$\alpha = 90° - \angle SAB = 90° - 54° = 36°$$

**Odpowiedź: C**

---
Więcej zadań: https://www.sprawnamatura.pl/topics/planimetria
Cały arkusz: https://www.sprawnamatura.pl/exams/matura-probna-marzec-2012-2