---
route: /task/matura-pr-bna-marzec-2012-2-14
title: Zadanie matura-pr-bna-marzec-2012-2-14
source: Matura próbna marzec 2012 (2)
category: Planimetria
points: 1
type: closed
---

# Zadanie matura-pr-bna-marzec-2012-2-14

**Źródło:** Matura próbna marzec 2012 (2)
**Kategoria:** Planimetria
**Punkty:** 1
**Typ:** zamknięte

## Treść zadania

Proste \(AD\) i \(BC\) są równoległe. Długości odcinków \(ED\), \(DC\) oraz \(AB\) podane są na rysunku. Długość odcinka \(EA\) jest równa

## Odpowiedzi

- **A.** \( 4 \)
- **B.** \( 8 \)
- **C.** \( 9 \)
- **D.** \( 10 \)

**Prawidłowa odpowiedź:** B

## Wzór

Formuła 2015

## Rozwiązanie

Skoro proste \(AD\) i \(BC\) są równoległe, mamy do czynienia z twierdzeniem Talesa.

## Analiza sytuacji

Z rysunku odczytuje się:
- \(ED = 6\)
- \(DC = 9\)
- \(AB = 12\)
- Szukamy: \(EA = ?\)

Punkt \(E\) leży na przecięciu się odcinków \(AC\) i \(BD\).

## Zastosowanie twierdzenia Talesa

Ponieważ \(AD \parallel BC\), to trójkąty \(EAD\) i \(EBC\) są podobne (kąty wierzchołkowe przy \(E\) są równe, a kąty naprzemianległe są równe).

Z podobieństwa trójkątów:
$$\frac{EA}{EC} = \frac{ED}{EB} = \frac{AD}{BC}$$

## Wykorzystanie proporcji

Rozpatrzmy proporcję dla odcinków na przekątnej \(BD\):
$$\frac{EA}{EC} = \frac{ED}{EB}$$

Wiemy, że:
- \(ED = 6\)
- \(EB = ED + DC = 6 + 9 = 15\) (nie, to błąd — \(DC\) nie leży na \(BD\))

Poprawnie: Z podobieństwa trójkątów \(EAD\) i \(ECB\):
$$\frac{EA}{EC} = \frac{ED}{EB} = \frac{AD}{CB}$$

oraz

$$\frac{EA}{EA + AC} = \frac{ED}{ED + DB}$$

## Użycie twierdzenia Talesa w trapezie

W trapezzie z przekątnymi, jeśli \(AD \parallel BC\), to:
$$\frac{EA}{EC} = \frac{ED}{EB}$$

Ponadto z podobieństwa:
$$\frac{EA}{AB} = \frac{ED}{DC}$$

Podstawiamy dane:
$$\frac{EA}{12} = \frac{6}{9}$$

$$EA = 12 \cdot \frac{6}{9} = 12 \cdot \frac{2}{3} = 8$$

**Odpowiedź: B**

---
Więcej zadań: https://www.sprawnamatura.pl/topics/planimetria
Cały arkusz: https://www.sprawnamatura.pl/exams/matura-probna-marzec-2012-2