---
route: /task/matura-pr-bna-marzec-2012-2-06
title: Zadanie matura-pr-bna-marzec-2012-2-06
source: Matura próbna marzec 2012 (2)
category: Równania i nierówności
points: 1
type: closed
---

# Zadanie matura-pr-bna-marzec-2012-2-06

**Źródło:** Matura próbna marzec 2012 (2)
**Kategoria:** Równania i nierówności
**Punkty:** 1
**Typ:** zamknięte

## Treść zadania

Zbiorem wszystkich rozwiązań nierówności \(x\sqrt{3}+4\ge 2x+\sqrt{12}\) jest przedział

## Odpowiedzi

- **A.** \( (-\infty ,2) \)
- **B.** \( (-\infty ,2 \rangle \)
- **C.** \( \langle 2,+\infty ) \)
- **D.** \( (2,+\infty ) \)

**Prawidłowa odpowiedź:** B

## Wzór

Formuła 2015

## Rozwiązanie

Rozwiązuje się nierówność \(x\sqrt{3}+4\ge 2x+\sqrt{12}\)

**Krok 1: Uproszczenie wyrażenia \(\sqrt{12}\)**

$$\sqrt{12} = \sqrt{4 \cdot 3} = \sqrt{4} \cdot \sqrt{3} = 2\sqrt{3}$$

**Krok 2: Przepisanie nierówności**

$$x\sqrt{3}+4 \ge 2x+2\sqrt{3}$$

**Krok 3: Przeniesienie wszystkich wyrazów na lewą stronę**

$$x\sqrt{3}+4-2x-2\sqrt{3} \ge 0$$

**Krok 4: Grupowanie wyrazów**

$$x\sqrt{3}-2x+4-2\sqrt{3} \ge 0$$

$$x(\sqrt{3}-2)+(4-2\sqrt{3}) \ge 0$$

**Krok 5: Wyłączenie wspólnego czynnika**

Widać, że \(4-2\sqrt{3} = 2(2-\sqrt{3})\), więc:

$$x(\sqrt{3}-2)+2(2-\sqrt{3}) \ge 0$$

Ponieważ \(2-\sqrt{3} = -({\sqrt{3}-2})\), zachodzi:

$$x(\sqrt{3}-2)-2(\sqrt{3}-2) \ge 0$$

$$(\sqrt{3}-2)(x-2) \ge 0$$

**Krok 6: Analiza znaku**

Oblicza się wartość \(\sqrt{3}-2\):

$$\sqrt{3} \approx 1{,}732 < 2$$

Zatem \(\sqrt{3}-2 < 0\)

**Krok 7: Rozwiązanie nierówności**

Nierówność do rozwiązania: \((\sqrt{3}-2)(x-2) \ge 0\)

Ponieważ \(\sqrt{3}-2 < 0\) (liczba ujemna), mnożąc obie strony przez \(\sqrt{3}-2\) i zmieniając znak nierówności:

$$x-2 \le 0$$

$$x \le 2$$

**Odpowiedź: B** \((-\infty, 2\rangle\)

---
Więcej zadań: https://www.sprawnamatura.pl/topics/rownania-i-nierownosci
Cały arkusz: https://www.sprawnamatura.pl/exams/matura-probna-marzec-2012-2