---
route: /task/matura-pr-bna-marzec-2012-1-31
title: Zadanie matura-pr-bna-marzec-2012-1-31
source: Matura próbna marzec 2012 (1)
category: Geometria analityczna
points: 4
type: open
---

# Zadanie matura-pr-bna-marzec-2012-1-31

**Źródło:** Matura próbna marzec 2012 (1)
**Kategoria:** Geometria analityczna
**Punkty:** 4
**Typ:** otwarte

## Treść zadania

Wyznacz równanie okręgu przechodzącego przez punkt \(A = (2, 1)\) i stycznego do obu osi układu współrzędnych. Rozważ wszystkie przypadki.

**Prawidłowa odpowiedź:** \((x-1)^2+(y-1)^2=1\) lub \((x-5)^2+(y-5)^2=25\)

## Wzór

Formuła 2015

## Rozwiązanie

Krok 1. Sporządzenie rysunku poglądowego.

Wnioski jakie płyną z tego rysunku są następujące:

- na pewno ten okrąg (a w zasadzie okręgi) będą leżeć w pierwszej ćwiartce układu współrzędnych, bo nie ma innej możliwości skoro muszą przechodzić przez punkt \(A=(2;1)\).

- w każdym przypadku odległość od obu osi jest równa promieniowi okręgu. Skoro tak, to środek każdego z okręgów będzie przybierał postać typu \(S=(r;r)\).

Krok 2. Podstawienie współrzędnych punktu \(A=(2;1)\) do wzoru na równanie okręgu.

Wiemy z tablic matematycznych, że wzór na równanie okręgu ma postać:

$$(x-r)^2+(y-r)^2=r^2$$

Podstawiając pod ten wzór współrzędne punktu \(A=(2;1)\) przez które okrąg przechodzi (czyli \(x=2\), \(y=1)\) otrzymamy:

$$(2-r)^2+(1-r)^2=r^2 \\

4-4r+r^2+1-2r+r^2=r^2 \\

2r^2-6r+5=r^2 \\

r^2-6r+5=0$$

Krok 3. Obliczenie powstałego równania kwadratowego.

Współczynniki: \(a=1,\;b=-6,\;c=5\)

$$Δ=b^2-4ac=(-6)^2-4\cdot1\cdot5=36-20=16 \\

\sqrt{Δ}=\sqrt{16}=4$$

$$r_{1}=\frac{-b-\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-(-6)-4}{2\cdot1}=\frac{6-4}{2}=\frac{2}{2}=1 \\

r_{2}=\frac{-b+\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-(-6)+4}{2\cdot1}=\frac{6+4}{2}=\frac{10}{2}=5$$

Krok 4. Zapisanie równań okręgów przechodzących przez wskazany punkt.

Otrzymaliśmy dwie możliwości \(r=1 \quad\lor\quad r=5\). Obydwie możliwości są poprawne, żadnej nie odrzucamy (moglibyśmy odrzucić gdyby np. jedna z wartości była ujemna). To oznacza, że otrzymamy dwa równania okręgów:

Okrąg mniejszy: \((x-1)^2+(y-1)^2=1^2\), czyli \((x-1)^2+(y-1)^2=1\)

Okrąg większy: \((x-5)^2+(y-5)^2=5^2\), czyli \((x-5)^2+(y-5)^2=25\)

![rysunek](https://urqfqczecfbhzvrlsvmp.supabase.co/storage/v1/object/public/task-images/solutions/matura-30.png)

---
Więcej zadań: https://www.sprawnamatura.pl/topics/geometria-analityczna
Cały arkusz: https://www.sprawnamatura.pl/exams/matura-probna-marzec-2012-1