---
route: /task/matura-pr-bna-marzec-2012-1-28
title: Zadanie matura-pr-bna-marzec-2012-1-28
source: Matura próbna marzec 2012 (1)
category: Statystyka
points: 2
type: open
---

# Zadanie matura-pr-bna-marzec-2012-1-28

**Źródło:** Matura próbna marzec 2012 (1)
**Kategoria:** Statystyka
**Punkty:** 2
**Typ:** otwarte

## Treść zadania

Tabela przedstawia wyniki uzyskane na sprawdzianie przez uczniów klasy III.

| Oceny | \(6\) | \(5\) | \(4\) | \(3\) | \(2\) | \(1\) |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| Liczba uczniów | \(1\) | \(2\) | \(6\) | \(5\) | \(9\) | \(2\) |

Oblicz średnią arytmetyczną i kwadrat odchylenia standardowego uzyskanych ocen.

**Prawidłowa odpowiedź:** \(\overline{x}=3 \), \(\sigma ^2=1{,}6\)

## Wzór

Formuła 2015

## Rozwiązanie

Krok 1. Obliczenie średniej arytmetycznej.

Aby obliczyć wartość średniej arytmetycznej musimy dodać do siebie wartość wszystkich zdobytych ocen i podzielić ją przez liczbę wszystkich uczniów:

$$\bar{a}=\frac{6\cdot1+5\cdot2+4\cdot6+3\cdot5+2\cdot9+1\cdot2}{1+2+6+5+9+2}=\frac{75}{25}=3$$

Krok 2. Obliczenie kwadratu odchylenia standardowego.

Kwadrat odchylenia standardowego (czyli wariancję) możemy obliczyć na dwa sposoby:

I sposób:

$$σ^2=\frac{(6-3)^2\cdot1+(5-3)^2\cdot2+(4-3)^2\cdot6+(3-3)^2\cdot5+(2-3)^2\cdot9+(1-3)^2\cdot2}{1+2+6+5+9+2}= \\

=\frac{3^2\cdot1+2^2\cdot2+1^2\cdot6+0^2\cdot5+(-1)^2\cdot9+(-2)^2\cdot2}{25}= \\

=\frac{9\cdot1+4\cdot2+1\cdot6+0\cdot5+1\cdot9+4\cdot2}{25}= \\

=\frac{9+8+6+0+9+8}{25}=\frac{40}{25}=1,6$$

II sposób:

$$σ^2=\frac{6^2\cdot1+5^2\cdot2+4^2\cdot6+3^2\cdot5+2^2\cdot9+1^2\cdot2}{1+2+6+5+9+2}-(\bar{a})^2= \\

=\frac{36\cdot1+25\cdot2+16\cdot6+9\cdot5+4\cdot9+1\cdot2}{25}-3^2= \\

=\frac{36+50+96+45+36+2}{25}-9=\frac{265}{25}-9=10,6-9=1,6$$

Uwaga! Nie musimy pierwiastkować otrzymanego wyniku! Wariancję po prostu oznacza się jako \(σ^2\), a nie jako \(σ\), stąd też wynik \(1,6\) jest naszym wynikiem końcowym.

---
Więcej zadań: https://www.sprawnamatura.pl/topics/statystyka
Cały arkusz: https://www.sprawnamatura.pl/exams/matura-probna-marzec-2012-1