---
route: /task/matura-pr-bna-marzec-2012-1-27
title: Zadanie matura-pr-bna-marzec-2012-1-27
source: Matura próbna marzec 2012 (1)
category: Potęgi i pierwiastki
points: 2
type: open
---

# Zadanie matura-pr-bna-marzec-2012-1-27

**Źródło:** Matura próbna marzec 2012 (1)
**Kategoria:** Potęgi i pierwiastki
**Punkty:** 2
**Typ:** otwarte

## Treść zadania

Uzasadnij, że dla każdej dodatniej liczby całkowitej n liczba \(3^{n+2} - 2^{n+2} + 3^n - 2^n\) jest wielokrotnością liczby \(10\).

## Wzór

Formuła 2015

## Rozwiązanie

Nasze zadanie tak naprawdę sprowadza się do znalezienia sposobu na wyłączenie przed nawias dziesiątki (lub jej wielokrotności), co ostatecznie udowodniłoby fakt, że ta liczba będzie wielokrotnością \(10\). Całość możemy rozpisać w następujący sposób:

$$3^{n+2}-2^{n+2}+3^n-2^n \\

3^{n+2}+3^n-2^{n+2}-2^n \\

3^n(3^2+1)-2^n(2^2+1) \\

3^n\cdot10-2^n\cdot5 \\

3^n\cdot10-2^{n-1}\cdot2\cdot5 \\

3^n\cdot10-2^{n-1}\cdot10 \\

10\cdot(3^n-2^{n-1})$$

---
Więcej zadań: https://www.sprawnamatura.pl/topics/potegi-i-pierwiastki
Cały arkusz: https://www.sprawnamatura.pl/exams/matura-probna-marzec-2012-1