---
route: /task/matura-pr-bna-marzec-2012-1-26
title: Zadanie matura-pr-bna-marzec-2012-1-26
source: Matura próbna marzec 2012 (1)
category: Ciągi
points: 2
type: open
---

# Zadanie matura-pr-bna-marzec-2012-1-26

**Źródło:** Matura próbna marzec 2012 (1)
**Kategoria:** Ciągi
**Punkty:** 2
**Typ:** otwarte

## Treść zadania

Liczby \(64, x, 4\) są odpowiednio pierwszym, drugim i trzecim wyrazem malejącego ciągu geometrycznego. Oblicz piąty wyraz tego ciągu.

**Prawidłowa odpowiedź:** \(a_5=\frac{1}{4}\)

## Wzór

Formuła 2015

## Rozwiązanie

Krok 1. Obliczenie wartości drugiego wyrazu ciągu geometrycznego.

Skorzystamy tutaj z jednej z najważniejszych własności ciągu geometrycznego, która mówi nam o tym, że między trzema kolejnymi wyrazami ciągu geometrycznego (niekoniecznie muszą to być trzy pierwsze wyrazy) zachodzi zależność \({a_{n}}^2=a_{n-1}\cdot a_{n+1}\) (dla \(n\ge2\)). Wykorzystując ten wzór obliczymy sobie wartość, która kryje się pod \(x\):

$${a_{n}}^2=a_{n-1}\cdot a_{n+1} \\

{a_{2}}^2=a_{1}\cdot a_{3} \\

x^2=64\cdot4 \\

x^2=256 \\

x=16 \quad\lor\quad x=-16$$

Wartość \(-16\) możemy odrzucić, bo zgodnie z informacją w treści zadania nasz ciąg jest malejący, a więc ciąg nie może wyglądać w ten sposób: \(64;\;-16;\;4\).

Krok 2. Obliczenie wartości \(q\).

Wartość \(q\) obliczymy dzieląc przez siebie dwa kolejne wyrazy ciągu, np. wyraz drugi przez pierwszy, albo trzeci przez drugi:

$$q=\frac{a_{2}}{a_{1}}=\frac{16}{64}=\frac{1}{4}$$

Krok 3. Obliczenie wartości piątego wyrazu ciągu geometrycznego.

Znając \(q\) bez problemu obliczymy już dowolny wyraz naszego ciągu geometrycznego ze wzoru: \(a_{n}=a_{1}\cdot q^{n-1}\) (dla \(n\ge2\)). Stąd też:

$$a_{n}=a_{1}\cdot q^{n-1} \\

a_{5}=a_{1}\cdot\left(\frac{1}{4}\right)^{5-1} \\

a_{5}=64\cdot\left(\frac{1}{4}\right)^{4} \\

a_{5}=64\cdot\frac{1}{256} \\

a_{5}=\frac{1}{4}$$

---
Więcej zadań: https://www.sprawnamatura.pl/topics/ciagi
Cały arkusz: https://www.sprawnamatura.pl/exams/matura-probna-marzec-2012-1