---
route: /task/matura-pr-bna-marzec-2012-1-25
title: Zadanie matura-pr-bna-marzec-2012-1-25
source: Matura próbna marzec 2012 (1)
category: Planimetria
points: 2
type: open
---

# Zadanie matura-pr-bna-marzec-2012-1-25

**Źródło:** Matura próbna marzec 2012 (1)
**Kategoria:** Planimetria
**Punkty:** 2
**Typ:** otwarte

## Treść zadania

Trójkąt ABC przedstawiony na poniższym rysunku jest równoboczny, a punkty \(B, C, N\) są współliniowe. Na boku \(AC\) wybrano punkt \(M\) tak, że \(|AM| = |CN|\). Wykaż, że \(|BM| = |MN|\).

## Wzór

Formuła 2015

## Rozwiązanie

Krok 1. Dorysowanie odcinka \(MD\).

To zadanie możemy udowodnić tak naprawdę na kilka sposobów, ale najprostszy z nich opierać się będzie na zaznaczeniu punktu \(D\) na odcinku \(BC\) w taki sposób, by odcinek \(MD\) był równoległy do odcinka \(AB\).

W ten sposób po dorysowaniu prostej równoległej otrzymaliśmy trójkąt równoboczny \(MDC\), co z kolei oznacza, że \(|CM|=|MD|\).

Ale to nie koniec spostrzeżeń. Z treści zadania wiemy, że \(|AM|=|CN|\), a to oznacza, że także \(|BD|=|CN|\).

Krok 2. Obliczenie miar kątów \(MCN\) oraz \(BDM\).

Jak już sobie powiedzieliśmy wcześniej, dorysowując prostą równoległą w trójkącie równobocznym \(ABC\) otrzymaliśmy mniejszy trójkąt równoboczny \(MDC\). To oznacza, że kąty wewnątrz tej figury są na pewno równe \(60°\). Skoro tak, to korzystając z własności kątów przyległych bez przeszkód wyznaczymy miary kątów \(MCN\) oraz \(BDM\) (patrz: rysunek).

$$|\sphericalangle MCN|=180°-60°=120° \\

|\sphericalangle BDM|=180°-60°=120°$$

Krok 3. Interpretacja wyników.

W pierwszym kroku udowodniliśmy że dwie pary boków są tej samej długości: \(|CM|=|MD|\) oraz \(|BD|=|CN|\). W drugim kroku udowodniliśmy, że kąt między tymi bokami ma identyczną miarę. Z powyższych rozważań możemy wywnioskować, że trójkąty \(MCN\) oraz \(MBD\) są przystające zgodnie z zasadą bok-kąt-bok. To kończy nasz dowód, bo skoro trójkąty \(MCN\) oraz \(MBD\) są przystające to \(|BM|=|MN|\).

![rysunek](https://urqfqczecfbhzvrlsvmp.supabase.co/storage/v1/object/public/task-images/solutions/matura-27.png)

![rysunek](https://urqfqczecfbhzvrlsvmp.supabase.co/storage/v1/object/public/task-images/solutions/matura-28.png)

---
Więcej zadań: https://www.sprawnamatura.pl/topics/planimetria
Cały arkusz: https://www.sprawnamatura.pl/exams/matura-probna-marzec-2012-1