---
route: /task/matura-pr-bna-luty-2026-39
title: Zadanie matura-pr-bna-luty-2026-39
source: Matura próbna luty 2026
category: Funkcja kwadratowa
points: 1
type: closed
---

# Zadanie matura-pr-bna-luty-2026-39

**Źródło:** Matura próbna luty 2026
**Kategoria:** Funkcja kwadratowa
**Punkty:** 1
**Typ:** zamknięte

## Treść zadania

W wyniku przeprowadzonej analizy pewnego przedsiębiorstwa ustalono, że zysk z produkcji jest zależny od liczby zatrudnionych pracowników i wyraża się następującym wzorem: \[ Z(x)=\frac{17}{29}x(130-x) \] gdzie: \(x\) - liczba zatrudnionych pracowników \(Z\) - miesięczny zysk z produkcji przedsiębiorstwa Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Miesięczny zysk z produkcji przedsiębiorstwa będzie największy, jeżeli liczba zatrudnionych pracowników wyniesie

## Odpowiedzi

- **A.** \(58\)
- **B.** \(65\)
- **C.** \(70\)
- **D.** \(87\)

**Prawidłowa odpowiedź:** B

## Wzór

Nowa formuła

## Rozwiązanie

Musimy znaleźć maksimum funkcji zysku $$Z(x) = \frac{17}{29}x(130-x)$$

**Krok 1: Przekształcenie funkcji**

Rozwija się wyrażenie:
$$Z(x) = \frac{17}{29}(130x - x^2) = \frac{17}{29} \cdot 130x - \frac{17}{29}x^2$$

To jest funkcja kwadratowa postaci \(Z(x) = ax^2 + bx + c\), gdzie:
- \(a = -\frac{17}{29} < 0\)
- \(b = \frac{17 \cdot 130}{29}\)

**Krok 2: Znajdowanie maksimum**

Ponieważ \(a < 0\), parabola ma ramiona skierowane w dół, więc funkcja ma maksimum w wierzchołku.

Dla funkcji kwadratowej maksimum/minimum występuje w punkcie:
$$x_{wierzch} = -\frac{b}{2a}$$

Można jednak skorzystać z prostszej metody, zauważając strukturę wzoru:
$$Z(x) = \frac{17}{29}x(130-x)$$

**Krok 3: Metoda algebraiczna**

Iloczyn \(x(130-x)\) osiąga maksimum, gdy oba czynniki są równe (dla dodatnich wartości), czyli gdy:
$$x = 130 - x$$
$$2x = 130$$
$$x = 65$$

**Alternatywnie** - pochodna:
$$Z(x) = \frac{17}{29}(130x - x^2)$$
$$Z'(x) = \frac{17}{29}(130 - 2x)$$

Przyrównuje się do zera:
$$130 - 2x = 0$$
$$2x = 130$$
$$x = 65$$

**Sprawdzenie:** \(Z''(x) = \frac{17}{29} \cdot (-2) < 0\), więc to jest maksimum.

**Odpowiedź: B**

---
Więcej zadań: https://www.sprawnamatura.pl/topics/funkcja-kwadratowa
Cały arkusz: https://www.sprawnamatura.pl/exams/matura-probna-luty-2026