---
route: /task/matura-pr-bna-luty-2026-34
title: Zadanie matura-pr-bna-luty-2026-34
source: Matura próbna luty 2026
category: Stereometria
points: 4
type: open
---

# Zadanie matura-pr-bna-luty-2026-34

**Źródło:** Matura próbna luty 2026
**Kategoria:** Stereometria
**Punkty:** 4
**Typ:** otwarte

## Treść zadania

Pole podstawy ostrosłupa prawidłowego trójkątnego jest równe \(\frac{15\sqrt{3}}{4}\). Krawędź boczna tego ostrosłupa jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem \(\alpha \), takim, że \(\cos \alpha =\frac{1}{3}\). Oblicz objętość tego ostrosłupa. Zapisz obliczenia.

**Prawidłowa odpowiedź:** \(h=2\sqrt{10}\), \(V=\frac{5\sqrt{30}}{2}\)

## Wzór

Nowa formuła

## Rozwiązanie

## Krok 1: Sporządzenie rysunku pomocniczego.

[obrazek: https://urqfqczecfbhzvrlsvmp.supabase.co/storage/v1/object/public/task-images/solutions-generated/matura-pr-bna-luty-2026-34.png]

Rozwiązuje się zadanie krok po kroku.

## Dane z zadania

- Pole podstawy: $$P_{podst} = \frac{15\sqrt{3}}{4}$$
- Kąt nachylenia krawędzi bocznej do podstawy: $$\cos \alpha = \frac{1}{3}$$

## Krok 2: Wyznaczenie długości krawędzi podstawy

Podstawą jest trójkąt równoboczny o boku \(a\). Wzór na pole trójkąta równobocznego:
$$P = \frac{a^2\sqrt{3}}{4}$$

Przyrównuje się do danego pola:
$$\frac{a^2\sqrt{3}}{4} = \frac{15\sqrt{3}}{4}$$

$$a^2 = 15$$

$$a = \sqrt{15}$$

## Krok 3: Wyznaczenie promienia okręgu opisanego na podstawie

Dla trójkąta równobocznego promień okręgu opisanego wynosi:
$$R = \frac{a}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{15}}{\sqrt{3}} = \sqrt{\frac{15}{3}} = \sqrt{5}$$

## Krok 4: Analiza kąta nachylenia krawędzi bocznej

W ostrosłupie prawidłowym:
- \(S\) — wierzchołek ostrosłupa
- \(O\) — środek podstawy (środek okręgu opisanego)
- \(A\) — wierzchołek podstawy
- \(h\) — wysokość ostrosłupa

Krawędź boczna \(SA\) jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem \(\alpha\).

Rzut krawędzi \(SA\) na podstawę to odcinek \(OA = R = \sqrt{5}\).

## Krok 5: Obliczenie wysokości ostrosłupa

W trójkącie prostokątnym \(SOA\):
- \(OA = \sqrt{5}\) (przyprostokątna — rzut na podstawę)
- \(SO = h\) (przyprostokątna — wysokość)
- \(SA\) (przeciwprostokątna — krawędź boczna)
- \(\angle SAO = \alpha\) (kąt przy podstawie)

Z definicji cosinusa:
$$\cos \alpha = \frac{OA}{SA} = \frac{\sqrt{5}}{SA}$$

Podstawia się \(\cos \alpha = \frac{1}{3}\):
$$\frac{1}{3} = \frac{\sqrt{5}}{SA}$$

$$SA = 3\sqrt{5}$$

Z twierdzenia Pitagorasa:
$$h^2 + (\sqrt{5})^2 = (3\sqrt{5})^2$$

$$h^2 + 5 = 45$$

$$h^2 = 40$$

$$h = 2\sqrt{10}$$

## Krok 6: Obliczenie objętości

Wzór na objętość ostrosłupa:
$$V = \frac{1}{3} \cdot P_{podst} \cdot h$$

$$V = \frac{1}{3} \cdot \frac{15\sqrt{3}}{4} \cdot 2\sqrt{10}$$

$$V = \frac{15\sqrt{3} \cdot 2\sqrt{10}}{12} = \frac{30\sqrt{30}}{12} = \frac{5\sqrt{30}}{2}$$

## Odpowiedź

$$h = 2\sqrt{10}$$
$$V = \frac{5\sqrt{30}}{2}$$

---
Więcej zadań: https://www.sprawnamatura.pl/topics/stereometria
Cały arkusz: https://www.sprawnamatura.pl/exams/matura-probna-luty-2026