---
route: /task/matura-pr-bna-luty-2026-31
title: Zadanie matura-pr-bna-luty-2026-31
source: Matura próbna luty 2026
category: Geometria analityczna
points: 1
type: closed
---

# Zadanie matura-pr-bna-luty-2026-31

**Źródło:** Matura próbna luty 2026
**Kategoria:** Geometria analityczna
**Punkty:** 1
**Typ:** zamknięte

## Treść zadania

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. W kartezjańskim układzie współrzędnych \((x, y)\) proste \(k\) oraz \(l\) są określone równaniami \[ \begin{aligned} k:&\; y=(2m+1)\,x+m\\ l:&\; y=(m^2+1)x-m \end{aligned} \] Proste \(k\) oraz \(l\) nie mają punktów wspólnych, gdy liczba \(m\) jest równa

## Odpowiedzi

- **A.** \((-2)\)
- **B.** \(0\)
- **C.** \(1\)
- **D.** \(2\)

**Prawidłowa odpowiedź:** D

## Wzór

Nowa formuła

## Rozwiązanie

Dwie proste nie mają punktów wspólnych wtedy i tylko wtedy, gdy są równoległe i różne.

**Warunek równoległości:**

Proste są równoległe, gdy mają równe współczynniki kierunkowe:
$$2m + 1 = m^2 + 1$$

Rozwiązujemy równanie:
$$2m + 1 = m^2 + 1$$
$$2m = m^2$$
$$m^2 - 2m = 0$$
$$m(m - 2) = 0$$

Stąd \(m = 0\) lub \(m = 2\).

**Sprawdzenie, czy proste są różne:**

Musimy sprawdzić, dla których wartości \(m\) proste są nie tylko równoległe, ale też różne (nie pokrywają się).

Dla \(m = 0\):
- Prosta \(k: y = (2 \cdot 0 + 1)x + 0 = x\)
- Prosta \(l: y = (0^2 + 1)x - 0 = x\)

Proste są identyczne (pokrywają się), więc mają nieskończenie wiele punktów wspólnych. To nie spełnia warunku.

Dla \(m = 2\):
- Prosta \(k: y = (2 \cdot 2 + 1)x + 2 = 5x + 2\)
- Prosta \(l: y = (2^2 + 1)x - 2 = 5x - 2\)

Proste mają ten sam współczynnik kierunkowy \(a = 5\), ale różne wyrazy wolne (\(b = 2\) i \(b = -2\)), więc są równoległe i różne. To oznacza, że nie mają punktów wspólnych.

**Odpowiedź: D**

---
Więcej zadań: https://www.sprawnamatura.pl/topics/geometria-analityczna
Cały arkusz: https://www.sprawnamatura.pl/exams/matura-probna-luty-2026