---
route: /task/matura-pr-bna-luty-2026-30
title: Zadanie matura-pr-bna-luty-2026-30
source: Matura próbna luty 2026
category: Planimetria
points: 2
type: open
---

# Zadanie matura-pr-bna-luty-2026-30

**Źródło:** Matura próbna luty 2026
**Kategoria:** Planimetria
**Punkty:** 2
**Typ:** otwarte

## Treść zadania

W trójkącie prostokątnym \(BCA\) poprowadzono wysokość \(CD\) z wierzchołka kąta prostego \(C\), która podzieliła przeciwprostokątną \(BA\) na odcinki \(BD = 3\) i \(DA = 9\) (zobacz rysunek). Oblicz pole i obwód trójkąta \(BCA\). Zapisz obliczenia.

**Prawidłowa odpowiedź:** \(P = 18\sqrt{3}\), \(O = 18 + 6\sqrt{3}\)

## Wzór

Nowa formuła

## Rozwiązanie

## Dane i oznaczenia

W trójkącie prostokątnym \(BCA\) kąt prosty jest przy wierzchołku \(C\). Wysokość \(CD\) dzieli przeciwprostokątną \(BA\) na odcinki:
- \(BD = 3\)
- \(DA = 9\)

## Krok 1: Długość przeciwprostokątnej

$$BA = BD + DA = 3 + 9 = 12$$

## Krok 2: Długość wysokości \(CD\)

W trójkącie prostokątnym wysokość z wierzchołka kąta prostego na przeciwprostokątną spełnia zależność:
$$CD^2 = BD \cdot DA$$

$$CD^2 = 3 \cdot 9 = 27$$

$$CD = \sqrt{27} = 3\sqrt{3}$$

## Krok 3: Długości przyprostokątnych

Dla przyprostokątnej \(BC\):
$$BC^2 = BD \cdot BA = 3 \cdot 12 = 36$$
$$BC = 6$$

Dla przyprostokątnej \(CA\):
$$CA^2 = DA \cdot BA = 9 \cdot 12 = 108$$
$$CA = \sqrt{108} = 6\sqrt{3}$$

## Krok 4: Pole trójkąta

$$P = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot CA = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 6\sqrt{3} = 18\sqrt{3}$$

## Krok 5: Obwód trójkąta

$$O = BA + BC + CA = 12 + 6 + 6\sqrt{3} = 18 + 6\sqrt{3}$$

**Odpowiedź:** \(P = 18\sqrt{3}\), \(O = 18 + 6\sqrt{3}\)

---
Więcej zadań: https://www.sprawnamatura.pl/topics/planimetria
Cały arkusz: https://www.sprawnamatura.pl/exams/matura-probna-luty-2026