---
route: /task/matura-pr-bna-luty-2026-27
title: Zadanie matura-pr-bna-luty-2026-27
source: Matura próbna luty 2026
category: Planimetria
points: 3
type: open
---

# Zadanie matura-pr-bna-luty-2026-27

**Źródło:** Matura próbna luty 2026
**Kategoria:** Planimetria
**Punkty:** 3
**Typ:** otwarte

## Treść zadania

Na czworokącie \(ABCD\) opisano okrąg. Przekątne czworokąta \(ABCD\) przecinają się w punkcie \(S\). Kąt \(ABD\) ma miarę \(50°\), a kąt \(BDC\) ma miarę \(60°\) (zobacz rysunek).

a) Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Miara kąta \(BSC\) jest równa

A. \(100°\)
B. \(110°\)
C. \(120°\)
D. \(130°\)

b) Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Jeżeli promień okręgu opisanego na czworokącie \(ABCD\) ma długość \(r\), to wówczas długość łuku \(BC\) jest równa

A. \(\frac{55}{360}\cdot 2\pi r\)
B. \(\frac{60}{360}\cdot 2\pi r\)
C. \(\frac{110}{360}\cdot 2\pi r\)
D. \(\frac{120}{360}\cdot 2\pi r\)

**Prawidłowa odpowiedź:** a) B
b) D

## Wzór

Nowa formuła

## Rozwiązanie

## Dane

Czworokąt \(ABCD\) wpisany w okrąg. Przekątne przecinają się w punkcie \(S\). \(\angle ABD = 50°\), \(\angle BDC = 60°\).

## a) Miara kąta \(BSC\)

**Krok 1:** Korzysta się z własności kątów wpisanych.

Kąt \(\angle ABD = 50°\) jest kątem wpisanym opartym na łuku \(AD\).
Kąt \(\angle ACD\) jest również oparty na łuku \(AD\), więc:
$$\angle ACD = \angle ABD = 50°$$

**Krok 2:** Kąt \(\angle BDC = 60°\) jest kątem wpisanym opartym na łuku \(BC\).
Kąt \(\angle BAC\) jest również oparty na łuku \(BC\), więc:
$$\angle BAC = \angle BDC = 60°$$

**Krok 3:** W trójkącie \(ABS\) (gdzie \(S\) jest przecięciem przekątnych):

Kąt \(\angle ABS = \angle ABD = 50°\) i \(\angle BAS = \angle BAC = 60°\).

$$\angle ASB = 180° - 50° - 60° = 70°$$

Kąt \(\angle BSC\) i \(\angle ASB\) są kątami przyległymi (tworzą kąt półpełny na prostej \(AC\)):
$$\angle BSC = 180° - \angle ASB = 180° - 70° = 110°$$

**Odpowiedź: B**

## b) Długość łuku \(BC\)

**Krok 1:** Kąt wpisany \(\angle BDC = 60°\) jest oparty na łuku \(BC\).

Kąt środkowy oparty na tym samym łuku jest dwa razy większy od kąta wpisanego:
$$\angle_{\text{środkowy}} = 2 \cdot 60° = 120°$$

**Krok 2:** Długość łuku \(BC\) stanowi część obwodu okręgu proporcjonalną do kąta środkowego:
$$l_{BC} = \frac{120°}{360°} \cdot 2\pi r = \frac{120}{360} \cdot 2\pi r$$

**Odpowiedź: D**

---
Więcej zadań: https://www.sprawnamatura.pl/topics/planimetria
Cały arkusz: https://www.sprawnamatura.pl/exams/matura-probna-luty-2026