---
route: /task/matura-pr-bna-luty-2026-23
title: Zadanie matura-pr-bna-luty-2026-23
source: Matura próbna luty 2026
category: Trygonometria
points: 3
type: open
---

# Zadanie matura-pr-bna-luty-2026-23

**Źródło:** Matura próbna luty 2026
**Kategoria:** Trygonometria
**Punkty:** 3
**Typ:** otwarte

## Treść zadania

Dany jest trójkąt prostokątny \(ABC\) o kątach ostrych \(\alpha\) i \(\beta\) oraz przyprostokątnej \(BC\) długości \(2\sqrt{5}\) (zobacz rysunek). Kąt prosty jest przy wierzchołku \(C\). Cosinus kąta \(\beta\) jest równy \(\frac{2}{3}\).

a) Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Tangens kąta \(\alpha\) jest równy

A. \(\frac{\sqrt{5}}{5}\)
B. \(\frac{2\sqrt{5}}{6}\)
C. \(\frac{2\sqrt{5}}{5}\)
D. \(\frac{\sqrt{5}}{3}\)

b) Oblicz obwód okręgu opisanego na trójkącie \(ABC\). Zapisz obliczenia.

**Prawidłowa odpowiedź:** a) C
b) \(O = 6\pi\)

## Wzór

Nowa formuła

## Rozwiązanie

## Dane

Trójkąt prostokątny \(ABC\) z kątem prostym przy wierzchołku \(C\). Przyprostokątna \(BC = 2\sqrt{5}\), \(\cos\beta = \frac{2}{3}\).

Z rysunku: kąt \(\alpha\) jest przy wierzchołku \(B\), kąt \(\beta\) jest przy wierzchołku \(A\).

## Krok 1: Obliczenie \(\sin\beta\)

Z jedynki trygonometrycznej:
$$\sin^2\beta = 1 - \cos^2\beta = 1 - \frac{4}{9} = \frac{5}{9}$$
$$\sin\beta = \frac{\sqrt{5}}{3}$$

## Krok 2: Obliczenie \(\tan\beta\)

$$\tan\beta = \frac{\sin\beta}{\cos\beta} = \frac{\frac{\sqrt{5}}{3}}{\frac{2}{3}} = \frac{\sqrt{5}}{2}$$

## Krok 3: Wyznaczenie boków trójkąta

W trójkącie prostokątnym przy \(C\) (z rysunku \(BC\) jest przyprostokątną pionową):

Z kąta \(\beta\) przy wierzchołku \(A\):
$$\tan\beta = \frac{BC}{AC} = \frac{2\sqrt{5}}{AC}$$

$$\frac{\sqrt{5}}{2} = \frac{2\sqrt{5}}{AC}$$

$$AC = \frac{2\sqrt{5} \cdot 2}{\sqrt{5}} = 4$$

Przeciwprostokątna \(AB\) z twierdzenia Pitagorasa:
$$AB = \sqrt{BC^2 + AC^2} = \sqrt{(2\sqrt{5})^2 + 4^2} = \sqrt{20 + 16} = \sqrt{36} = 6$$

## a) Tangens kąta \(\alpha\)

Kąt \(\alpha\) jest przy wierzchołku \(B\). W trójkącie prostokątnym:
$$\tan\alpha = \frac{AC}{BC} = \frac{4}{2\sqrt{5}} = \frac{2}{\sqrt{5}} = \frac{2\sqrt{5}}{5}$$

**Odpowiedź: C**

## b) Obwód okręgu opisanego na trójkącie \(ABC\)

W trójkącie prostokątnym środek okręgu opisanego leży w połowie przeciwprostokątnej, a promień jest równy połowie przeciwprostokątnej:
$$R = \frac{AB}{2} = \frac{6}{2} = 3$$

Obwód okręgu opisanego:
$$O = 2\pi R = 2\pi \cdot 3 = 6\pi$$

**Odpowiedź:** \(O = 6\pi\)

---
Więcej zadań: https://www.sprawnamatura.pl/topics/trygonometria
Cały arkusz: https://www.sprawnamatura.pl/exams/matura-probna-luty-2026