---
route: /task/matura-pr-bna-luty-2026-22
title: Zadanie matura-pr-bna-luty-2026-22
source: Matura próbna luty 2026
category: Trygonometria
points: 1
type: closed
---

# Zadanie matura-pr-bna-luty-2026-22

**Źródło:** Matura próbna luty 2026
**Kategoria:** Trygonometria
**Punkty:** 1
**Typ:** zamknięte

## Treść zadania

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Kąt \(\alpha\) jest ostry i spełnia warunek \[\,\mathrm{tg}\,\alpha - \cos^{2} \alpha = \frac{1}{3\cos \alpha }+\sin^2\alpha-1\] Sinus kąta \(\alpha\) jest równy

## Odpowiedzi

- **A.** \(\dfrac{1}{3}\)
- **B.** \(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\)
- **C.** \(\dfrac{1}{4}\)
- **D.** \(\dfrac{\sqrt{3}}{5}\)

**Prawidłowa odpowiedź:** A

## Wzór

Nowa formuła

## Rozwiązanie

Przekształca się dane równanie, aby znaleźć \(\sin \alpha\).

## Krok 1: Uprość prawą stronę równania

Korzysta się z tożsamości \(\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1\), więc \(\sin^2\alpha - 1 = -\cos^2\alpha\):

$$\mathrm{tg}\,\alpha - \cos^{2} \alpha = \frac{1}{3\cos \alpha } + \sin^2\alpha - 1$$

$$\mathrm{tg}\,\alpha - \cos^{2} \alpha = \frac{1}{3\cos \alpha } - \cos^2\alpha$$

## Krok 2: Uprość równanie

Ponieważ \(-\cos^2\alpha\) występuje po obu stronach, można je skrócić:

$$\mathrm{tg}\,\alpha = \frac{1}{3\cos \alpha}$$

## Krok 3: Podstaw \(\mathrm{tg}\,\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}\)

$$\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} = \frac{1}{3\cos \alpha}$$

## Krok 4: Rozwiąż równanie

Mnoży się obie strony przez \(\cos\alpha\) (dla \(\alpha\) ostrego \(\cos\alpha > 0\)):

$$\sin\alpha = \frac{1}{3}$$

## Krok 5: Sprawdzenie

Sprawdza się czy wartość \(\sin\alpha = \frac{1}{3}\) ma sens dla kąta ostrego:
- Kąt ostry: \(0° < \alpha < 90°\)
- Dla \(\sin\alpha = \frac{1}{3}\): mamy \(0 < \frac{1}{3} < 1\) ✓

Z tożsamości \(\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1\):
$$\cos^2\alpha = 1 - \frac{1}{9} = \frac{8}{9}$$
$$\cos\alpha = \frac{2\sqrt{2}}{3}$$ (dodatnie dla kąta ostrego)

Weryfikacja równania podstawowego:
- Lewa strona: \(\mathrm{tg}\,\alpha = \frac{1/3}{2\sqrt{2}/3} = \frac{1}{2\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{4}\)
- Prawa strona: \(\frac{1}{3 \cdot \frac{2\sqrt{2}}{3}} = \frac{1}{2\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{4}\) ✓

**Odpowiedź: A**

---
Więcej zadań: https://www.sprawnamatura.pl/topics/trygonometria
Cały arkusz: https://www.sprawnamatura.pl/exams/matura-probna-luty-2026