---
route: /task/matura-pr-bna-luty-2026-21
title: Zadanie matura-pr-bna-luty-2026-21
source: Matura próbna luty 2026
category: Ciągi
points: 2
type: open
---

# Zadanie matura-pr-bna-luty-2026-21

**Źródło:** Matura próbna luty 2026
**Kategoria:** Ciągi
**Punkty:** 2
**Typ:** otwarte

## Treść zadania

Wyznacz wszystkie wartości parametru \(m\), dla którego trzywyrazowy ciąg \[ \left(2m-1,\ m,\ 2m+1\right) \] jest geometryczny. Zapisz obliczenia.

**Prawidłowa odpowiedź:** \(m=-\frac{\sqrt{3}}{3}\) lub \(m=\frac{\sqrt{3}}{3}\)

## Wzór

Nowa formuła

## Rozwiązanie

Ciąg \((a_1, a_2, a_3)\) jest geometryczny, gdy iloraz kolejnych wyrazów jest stały, czyli:
$$\frac{a_2}{a_1} = \frac{a_3}{a_2}$$

Równoważnie można zapisać warunek: \(a_2^2 = a_1 \cdot a_3\)

**Krok 1:** Podstawia się wyrazy ciągu

Dla ciągu \((2m-1, m, 2m+1)\) warunek ma postać:
$$m^2 = (2m-1)(2m+1)$$

**Krok 2:** Rozwija się prawą stronę

Wykorzystuje się wzór skróconego mnożenia \((a-b)(a+b) = a^2 - b^2\):
$$(2m-1)(2m+1) = (2m)^2 - 1^2 = 4m^2 - 1$$

**Krok 3:** Rozwiązuje się równanie

$$m^2 = 4m^2 - 1$$

Przenosi się wszystko na lewą stronę:
$$m^2 - 4m^2 + 1 = 0$$
$$-3m^2 + 1 = 0$$
$$-3m^2 = -1$$
$$m^2 = \frac{1}{3}$$

**Krok 4:** Wyznacza się wartości \(m\)

$$m = \sqrt{\frac{1}{3}} \quad \text{lub} \quad m = -\sqrt{\frac{1}{3}}$$

Przekształca się pod pierwiastkiem:
$$m = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$$

lub

$$m = -\frac{\sqrt{3}}{3}$$

**Krok 5:** Sprawdzenie warunku istnienia ciągu geometrycznego

Dla ciągu geometrycznego żaden wyraz nie może być zerem (bo nie istniałby iloraz).

- Dla \(m = \frac{\sqrt{3}}{3}\): drugi wyraz \(m \neq 0\) ✓
- Dla \(m = -\frac{\sqrt{3}}{3}\): drugi wyraz \(m \neq 0\) ✓

**Odpowiedź:**

$$m = -\frac{\sqrt{3}}{3} \quad \text{lub} \quad m = \frac{\sqrt{3}}{3}$$

---
Więcej zadań: https://www.sprawnamatura.pl/topics/ciagi
Cały arkusz: https://www.sprawnamatura.pl/exams/matura-probna-luty-2026