---
route: /task/matura-pr-bna-luty-2026-09
title: Zadanie matura-pr-bna-luty-2026-09
source: Matura próbna luty 2026
category: Równania i nierówności
points: 3
type: open
---

# Zadanie matura-pr-bna-luty-2026-09

**Źródło:** Matura próbna luty 2026
**Kategoria:** Równania i nierówności
**Punkty:** 3
**Typ:** otwarte

## Treść zadania

Rozwiąż równanie \[\frac{x}{2x-1}=1-\frac{3-x}{3+x}\] Zapisz konieczne założenie i obliczenia.

**Prawidłowa odpowiedź:** Dziedzina: \(x\ne \frac{1}{2}\) i \(x\ne -3\)Rozwiązanie: \(x=0\) lub \(x=\frac{5}{3}\)

## Wzór

Nowa formuła

## Rozwiązanie

# Rozwiązanie równania

## Krok 1: Dziedzina równania

Mianowniki nie mogą być równe zero, więc:
- $$2x - 1 \neq 0 \implies x \neq \frac{1}{2}$$
- $$3 + x \neq 0 \implies x \neq -3$$

**Dziedzina:** $$x \in \mathbb{R} \setminus \left\{\frac{1}{2}, -3\right\}$$

## Krok 2: Przekształcenie prawej strony

Uprośćmy prawą stronę równania:
$$1 - \frac{3-x}{3+x} = \frac{3+x}{3+x} - \frac{3-x}{3+x} = \frac{(3+x)-(3-x)}{3+x}$$

$$= \frac{3+x-3+x}{3+x} = \frac{2x}{3+x}$$

## Krok 3: Równanie w uproszczonej postaci

Równanie przybiera postać:
$$\frac{x}{2x-1} = \frac{2x}{3+x}$$

## Krok 4: Mnożenie na krzyż

$$x(3+x) = 2x(2x-1)$$

$$3x + x^2 = 4x^2 - 2x$$

## Krok 5: Sprowadzenie do równania kwadratowego

$$3x + x^2 - 4x^2 + 2x = 0$$

$$-3x^2 + 5x = 0$$

$$x(-3x + 5) = 0$$

## Krok 6: Rozwiązania

$$x = 0 \quad \text{lub} \quad -3x + 5 = 0$$

$$x = 0 \quad \text{lub} \quad x = \frac{5}{3}$$

## Krok 7: Sprawdzenie dziedziny

Oba rozwiązania należą do dziedziny:
- $$x = 0 \neq \frac{1}{2}$$ i $$0 \neq -3$$ ✓
- $$x = \frac{5}{3} \neq \frac{1}{2}$$ i $$\frac{5}{3} \neq -3$$ ✓

**Odpowiedź:** $$x = 0 \text{ lub } x = \frac{5}{3}$$

---
Więcej zadań: https://www.sprawnamatura.pl/topics/rownania-i-nierownosci
Cały arkusz: https://www.sprawnamatura.pl/exams/matura-probna-luty-2026