---
route: /task/matura-pr-bna-luty-2026-05
title: Zadanie matura-pr-bna-luty-2026-05
source: Matura próbna luty 2026
category: Liczby rzeczywiste
points: 3
type: open
---

# Zadanie matura-pr-bna-luty-2026-05

**Źródło:** Matura próbna luty 2026
**Kategoria:** Liczby rzeczywiste
**Punkty:** 3
**Typ:** otwarte

## Treść zadania

Wykaż, że dla każdej liczby całkowitej \(a\), która przy dzieleniu przez \(7\) daje resztę \(2\), oraz dla każdej liczby całkowitej \(b\), która przy dzieleniu przez \(7\) daje resztę \(5\), liczba \(a^{2}+2b^{2}+2\) jest podzielna przez \(7\).

## Wzór

Nowa formuła

## Rozwiązanie

Zapiszmy warunki zadania w postaci algebraicznej.

**Krok 1: Zapisanie warunków**

Jeśli \(a\) przy dzieleniu przez \(7\) daje resztę \(2\), to:
$$a = 7k + 2$$
dla pewnej liczby całkowitej \(k\).

Jeśli \(b\) przy dzieleniu przez \(7\) daje resztę \(5\), to:
$$b = 7m + 5$$
dla pewnej liczby całkowitej \(m\).

**Krok 2: Obliczenie \(a^2\)**

$$a^2 = (7k + 2)^2 = 49k^2 + 28k + 4$$

Zauważmy, że:
$$a^2 = 49k^2 + 28k + 4 = 7(7k^2 + 4k) + 4$$

Zatem \(a^2 \equiv 4 \pmod{7}\)

**Krok 3: Obliczenie \(b^2\)**

$$b^2 = (7m + 5)^2 = 49m^2 + 70m + 25$$

$$b^2 = 49m^2 + 70m + 25 = 7(7m^2 + 10m) + 25$$

Podzielmy \(25\) przez \(7\): \(25 = 7 \cdot 3 + 4\)

Zatem \(b^2 \equiv 4 \pmod{7}\)

**Krok 4: Obliczenie \(2b^2\)**

$$2b^2 \equiv 2 \cdot 4 \equiv 8 \equiv 1 \pmod{7}$$

(ponieważ \(8 = 7 + 1\))

**Krok 5: Obliczenie \(a^2 + 2b^2 + 2\)**

$$a^2 + 2b^2 + 2 \equiv 4 + 1 + 2 \equiv 7 \equiv 0 \pmod{7}$$

**Wniosek:**

Ponieważ \(a^2 + 2b^2 + 2 \equiv 0 \pmod{7}\), liczba \(a^2 + 2b^2 + 2\) jest podzielna przez \(7\) dla każdej liczby całkowitej \(a\) dającej resztę \(2\) oraz każdej liczby całkowitej \(b\) dającej resztę \(5\) przy dzieleniu przez \(7\).

---
Więcej zadań: https://www.sprawnamatura.pl/topics/liczby-rzeczywiste
Cały arkusz: https://www.sprawnamatura.pl/exams/matura-probna-luty-2026